资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．设A（ x1 ， y1）、B （x2 ， y2）是反比例函数 图象上的两点．若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是（ ）
A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
2．已知一条抛物线的表达式为，则将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．2 D．2
4．不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
8．下列各选项的事件中，发生的可能性大小相等的是（ ）
A．小明去某路口，碰到红灯，黄灯和绿灯
B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下”
C．小亮在沿着Rt△ABC三边行走他出现在AB，AC与BC边上
D．小红掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数”
9．一元二次方程中的常数项是（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．1
10．正三角形外接圆面积是，其内切圆面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若函数是正比例函数，则__________．
12．如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，则__________.
13．为准备体育中考，甲、乙两名学生各进行了10次1分钟跳绳的测试，已知两名学生10次1分钟跳绳的平均成绩均为160个，甲的方差是80（个），乙的方差是100（个）.则这10次1分钟跳绳测试成绩比较稳定的学生是________ （填“甲”或“乙”）.
14．若，则锐角α的度数是_____．
15．设x1、x2是方程x﹣x﹣1=0的两个实数根，则x1+x2=_________．
16．计算：______．
17．如图，在平行四边形中，是线段上的点，如果，，连接与对角线交于点，则_______．
18．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
20．（6分）有甲、乙、丙三个不透明的布袋，甲袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母A和B；乙袋中装有3个相同的小球，它们分别标有字母C、D和E；丙袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母H和I．从三个布袋中各随机取出一个小球．求：（1）取出的3个小球恰好有2个元音字母的概率；（2）取出的3个小球全是辅音字母的概率．
21．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B， C点重合)，∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．
23．（8分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.
24．（8分）如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在方格纸中的位置如图所示．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得，两点的坐标分别为，，并写出点的坐标；
（2）在图中作出绕坐标原点旋转后的，并写出，，的坐标．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OACD，求阴影部分的面积；
（2）求证：DEDM．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣4x2﹣8mx﹣m2+2m的顶点p．
（1）点p的坐标为 （含m的式子表示）
（2）当﹣1≤x≤1时，y的最大值为5，则m的值为多少；
（3）若抛物线与x轴（不包括x轴上的点）所围成的封闭区域只含有1个整数点，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x1＜0即可得出结论．
【详解】∵反比例函数中，k=1>0，
∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x1＜0，
∴0>y1＞y1．
故选：B
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2、A
【分析】可根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答.
【详解】二次函数向右平移个单位长度得， ，
再向上平移个单位长度得
即
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键.
3、D
【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
4、B
【分析】根据一元一次不等式的解法进行求解即可．
【详解】解：移项得，，
合并得，，
系数化为1得，．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，属于基础题型，明确解法是关键．
5、C
【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解： 设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3x，AD∥EC，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ，
，设CF=n，设EF=m，
∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，
∵△ECD是直角三角形，，
∴△CFE∽△DFC，
∴，
∴，即，
∴，∵，
∴tan∠CAE=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
6、A
【分析】根据正切的定义有tanA，可设BC=12x，则AC=5x，根据勾股定理可计算出AB=12x，然后根据余弦的定义得到cosB，代入可得结论．
【详解】如图，
∵∠C=90°，tanA，
∴tanA．
设BC=12x，则AC=5x，
∴AB13x，
∴cosB．
故选：A．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．
7、A
【分析】设红球的个数为x，通过蓝球的概率建立一个关于x的方程，解方程即可.
【详解】设袋子中有红球x个，
根据题意得，
解得x＝1．
经检验x＝1是原方程的解．
答：袋子中有红球有1个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，掌握随机事件概率的求法是解题的关键.
8、D
【分析】根据概率公式逐一判断即可.
【详解】A、∵交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，
∴它们发生的概率不相同，
∴选项A不正确；
B、∵图钉上下不一样，
∴钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，
∴选项B不正确；
C、∵“直角三角形”三边的长度不相同，
∴小亮在沿着Rt△ABC三边行走他出现在AB，AC与BC边上走，他出现在各边上的概率不相同，
∴选项C不正确；
D、小红掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数”的可能性大小相等，
∴选项D正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是概率问题,掌握根据概率公式分析概率的大小是解决此题的关键.
9、C
【分析】将一元二次方程化成一般形式，即可得到常数项．
【详解】解：∵
∴
∴常数项为-6
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确的化出一元二次方程的一般形式是解决本题的关键．
10、D
【分析】△ABC为等边三角形，利用外接圆和内切圆的性质得∠OBC=30°，在Rt△OBD中，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OD=OB，然后根据圆的面积公式得到△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比，即可得解.
【详解】△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC的外心，AD⊥BC，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBD中，OD=OB，
∴△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1．
∵正三角形外接圆面积是，
∴其内切圆面积是
故选：D.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆：正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆．也考查了等边三角形的性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据正比例函数的定义即可得出答案.
【详解】∵函数是正比例函数
∴-a+1=0
解得：a=1
故答案为1.
【点睛】
本题考查的是正比例函数，属于基础题型，正比例函数的表达式为：y=kx(其中k≠0).
12、
【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，进而证明，得出线段的比例，即可得出答案
【详解】在中，
∴AD∥BC，∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∴△ADE∽△FCE
∵DE=2EC，
∴AD=2CF，
在中，
∵AD=BC，
等量代换得：BC=2CF
∴2：1
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，数形结合是解题的关键.
13、甲
【分析】根据方差的稳定性即可求解.
【详解】∵两名学生10次1分钟跳绳的平均成绩均为160个，甲的方差是80（个），乙的方差是100（个）
故成绩比较稳定的学生是甲
故答案为甲.
【点睛】
此题主要考查数据的稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.
14、45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：∵，
∴α＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
15、1
【分析】观察方程可知,方程有两个不相等的实数根,由根与系数关系直接求解.
【详解】解:方程中,△==5>0,
方程有两个不相等的实数根,
==1.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数关系.关键是先判断方程的根的情况,利用根与系数关系求解.
16、
【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．
17、
【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC；平行直线证明△BEF∽△DCF，其性质线段的和差求得，三角形的面积公式求出两个三角形的面积比为2：1．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
又∵BE＝AB−AE，AB＝1，AE＝3，
∴BE＝2，DC＝1，
∴，
又∵S△BEF＝•EF•BH，S△DCF＝•FC•BH，
∴，
故答案为2：1．
【点睛】
本题综合考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．
18、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
【点睛】
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）的直径为．
【解析】连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论；
利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径．
【详解】连接OA，如图，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
是的切线．
在中，，
，
又，
，
，
．
的直径为．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
20、（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图作答即可；
（2）根据树状图作答即可．
【详解】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有2个元音字母的为4种情况，
∴P（恰好有2个元音字母）；
（2）∵取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
∴取出的3个小球上全是辅音字母的概率是：．
【点睛】
本题考查了概率统计的问题，掌握树状图的性质以及画法是解题的关键．
21、（1）；（2）存在，D的坐标为（2，6）；（3）存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（，0）或（，0）．
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可；
（2）先根据函数解析式求出点C、D坐标，再将过点D作y轴的平行线交BC于点E，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而得出点E坐标，然后根据得出的面积表达式，最后利用二次函数的性质求出的面积取最大值时m的值，从而可得点D坐标；
（3）根据平行四边形的定义分两种情况：BD为平行四边形的边和BD为平行四边形的对角线，然后先分别根据平行四边形的性质求出点N坐标，从而即可求出点M坐标．
【详解】（1）∵抛物线经过点
∴
解得
故抛物线的解析式为；
（2）的面积存在最大值．求解过程如下：
，当时，
由题意，设点D坐标为，其中
如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点E
设直线BC的解析式为
把点代入得
解得
∴直线BC的解析式为
∴可设点E的坐标为
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为6
此时，
故的面积存在最大值，此时点D坐标为；
（3）存在．理由如下：
由平行四边形的定义，分以下两种情况讨论：
①当BD是平行四边形的一条边时
如图2所示：M、N分别有三个点
设点
∴点N的纵坐标为绝对值为6
即
解得（与点D重合，舍去）或或
则点的横坐标分别为
∴点M坐标为或或
即点M坐标为或或
②如图3，当BD是平行四边形的对角线时
∴此时，点N与C重合，，且点M在点B右侧
，即
综上，存在这样的点M，使得以点为顶点的四边形是平行四边形．点M坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的定义与性质等知识点，较难的是题（3），依据平行四边形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
22、（1）证明见解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的长为2-或 ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．
【详解】（1）证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴=，
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，CD=-x，EC=1-y，
∴=，
∴y=x2-x+1=（x-）2+；
（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即 x-x2=x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x=-1
∴AE=1-x=2-，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE=；
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2-或 ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23、证明见解析.
【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．
【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，
∵（m+1）2≥0，
∴，
因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
24、（1）图形见解析，点坐标；（2）作图见解析，，，的坐标分别是
【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定C点坐标；
（2）由关于原点中心对称性画，可确定写出，，的坐标．
【详解】解：（1），
把向左平移两个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到原点O,
建立如下图的直角坐标系，
C（3，-3）；
（2）分别找到的对称点，，，顺次连接，，，
即为所求，如图所示，（-2，1），（-1，4），（-3，3）．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
25、（1）4-π；（2）参见解析．
【解析】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了．
试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD" =， OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD" ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD" ∴DE=DM．如图所示：
考点：圆的性质与三角形综合知识．
26、（1）；（2）m＝1或9或﹣3；（3）或
【分析】（1）函数的对称为：x＝﹣m，顶点p的坐标为：（﹣m，3m2+2m），即可求解；
（2）分m≤﹣1、m≥1、﹣1＜m＜1，三种情况，分别求解即可；
（3）由题意得：3m2+2m≤1，即可求解．
【详解】解：（1）函数的对称为：x＝﹣m，顶点p的坐标为：（﹣m，3m2+2m），
故答案为：（﹣m，3m2+2m）；
（2）①当m≤﹣1时，x＝1时，y＝5，即5＝﹣4﹣8m﹣m2+2m，解得：m＝﹣3；
②当m≥1时，x＝﹣1，y＝5，解得：m＝1或9；
③﹣1＜m＜1时，同理可得：m＝1或﹣（舍去）；
故m＝1或9或﹣3；
（3）函数的表达式为：y＝﹣4x2﹣8mx﹣m2+2m，
当x＝1时，y＝﹣m2﹣6m﹣4，
则1≤y＜2，且函数对称轴在y轴右侧，
则1≤﹣m2﹣6m﹣4＜2，
解得：﹣3+≤m≤﹣1；
当对称轴在y轴左侧时，1≤y＜2，
当x＝﹣1时，y＝﹣m2+10m﹣4，
则1≤y＜2，即1≤﹣m2+10m﹣4＜2，
解得：5﹣2≤m＜5﹣；
综上，﹣3+≤m≤﹣1或5﹣2≤m＜5﹣．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键，分情况讨论，注意不要漏掉.
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