资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
2．如图，，，，，互相外离，它们的半径都是，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的总面积是( )
A． B． C． D．
3．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
4．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
5．用配方法解方程x2-4x+3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．(x+1)2＝1 B．(x-1)2＝1 C．(x+2)2＝1 D．(x-2)2＝1
6．若双曲线经过第二、四象限，则直线经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
7．已知二次函数和一次函数的图象如图所示，下面四个推断：
①二次函数有最大值
②二次函数的图象关于直线对称
③当时，二次函数的值大于0
④过动点且垂直于x轴的直线与的图象的交点分别为C,D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是或，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
9．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．3
10．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ）
A． B． C． D．
11．由3x=2y(x≠0)，可得比例式为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点、、为反比例函数（）上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记四边形、、的面积分别为，、、，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，一次函数的图象交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数的图象于点，若，且的面积为2，则k的值为________
14．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．
15．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB=16m，半径OA=10m，OC⊥AB，则中柱CD的高度为_________m．
16．已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．
17．将二次函数的图像向左平移个单位得到，则函数的解析式为______．
18．二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为_______________________
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
20．（8分）计算：（﹣1）2+3tan30°﹣（﹣2）（+2）+2sin60°．
21．（8分）为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）
22．（10分）2018年12月1日，贵阳地铁一号线正式开通，标志着贵阳中心城区正式步入地铁时代，为市民的出行带来了便捷，如图是贵阳地铁一号线路图(部分)，菁菁与琪琪随机从这几个站购票出发.
（1）菁菁正好选择沙冲路站出发的概率为
（2）用列表或画树状图的方法，求菁菁与琪琪出发的站恰好相邻的概率.
23．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD•AC，连接BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．
（1）求BD的长；
（2）求证△BGE∽△CEF；
（3）连接FG，当△GEF是等腰三角形时，直接写出BE的所有可能的长度．
24．（10分）如图，抛物线的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点逆时针旋转得到，该抛物线对称轴上是否存在点，使有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG.
(1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°.
(2)证明：△AFC∽△AGD；
(3)若＝，请求出的值.
26．解方程：（x+3）（x﹣6）＝﹣1．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与轴的交点个数．
【详解】由二次函数，
知
∴．
∴抛物线与轴有二个公共点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与轴的交点个数取决于的值．
2、C
【分析】根据圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相等，根据扇形的面积公式计算先算出五边形内部五个扇形的面积之和，再用五个圆的面积之和减去五边形内部五个扇形的面积之和即可求得结果．
【详解】∵五边形的内角和是：(5−2)×180°=540°，
∴阴影部分的面积之和是：，
故选C．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式，解决问题的关键是把阴影部分的面积当成一个扇形面积来求，将五边形的内角和理解成圆心角也很关键；这题是易错题，注意是求五边形外部的扇形面积之和．
3、C
【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】∵a=1，b=-1，c=3，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，
所以方程没有实数根．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
4、A
【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【详解】连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）．
故选A．
【点睛】
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
5、D
【分析】根据配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可．
【详解】移项，得 x2-4x=-3，
配方，得 x2-2x+4=-3+4，
即（x-2）2=1 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键.
6、C
【分析】根据反比例函数的性质得出k﹣1＜0，再由一次函数的性质判断函数所经过的象限．
【详解】∵双曲线y经过第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
则直线y=2x+k﹣1一定经过一、三、四象限．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，属于函数的基础知识，难度不大．
7、B
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，
∴二次函数y1有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x=-1对称，故②正确；
当x=-2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；
当x＜-3或x＞-1时，抛物线在直线的上方，
∴m的取值范围为：m＜-3或m＞-1，故④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．
8、C
【详解】分析：先根据题意确定旋转中心，然后根据旋转中心即可确定旋转角的大小．
详解：如图，连接A′A，BB′，分别A′A，BB′作的中垂线，相交于点O.
显然，旋转角为90°，
故选C．
点睛：考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.
9、A
【解析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=-5x，
∴CE=28-25x，
∵AC=4，
∴x+28-25x=4，
解得：x=1．
故选A．
【点睛】
题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．
10、A
【解析】从上面看得到的图形是A表示的图形，故选A．
11、C
【分析】由3x=2y(x≠0)，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
C、由得，3x=2y，故本选项符合题意；
D、由得，xy=6，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查比例的性质相关，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟练掌握其性质是解题的关键．
12、C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S1=S2＜S3，即可得到结论．
【详解】解：∵点A、B、C为反比例函数（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S3=k，S△BOE=S△COF=k，
∵S△BOE-SOGF=S△CDF-S△OGF，
∴S1=S2＜S3，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据AAS可证明△AOB≌△CDB，从而证得S△AOC=S△OCD，最后再利用k的几何意义即可得到答案.
【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示，
∵在△AOB与△CDB中，，
∴△AOB≌△CDB（AAS），
∴S△AOB=S△CDB，
∴S△AOC=S△OCD，
∵S△AOC=2，
∴S△OCD=2，
∴，
∴k=±4，
又∵反比例函数图象在第一象限，k>0，
∴k=4.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握判定定理及k的几何意义是解题的关键.
14、2：1．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应中线的比．
故答案为：2：1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
15、4
【分析】根据垂径定理可得AD=AB，然后由勾股定理可得OD的长，继而可得CD的高求解．
【详解】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝1．
∴OD＝＝6m，
∴CD＝OC−OD＝10−6＝4（m）．
故答案是：4
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理的实际应用，掌握这些知识点是解题关键．
16、＜2（或x≤2）．
【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.
考点：二次函数的性质
17、
【分析】直接将函数解析式写成顶点式，再利用平移规律得出答案．
【详解】解：，
将二次函数的图象先向左平移1个单位，
得到的函数的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律（上加下减，左加右减）是解题关键．
18、3
【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．
【详解】根据题意可得：A点的坐标为(1,0)，B点的坐标为(3,0)，C点的坐标为(0,3)，则AB=2，
所以三角形的面积=2×3÷2=3.
考点：二次函数与x轴、y轴的交点.
三、解答题（共78分）
19、截去的小正方形的边长为2cm．
【分析】由等量关系：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解
【详解】设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣1x2=80%×10×8，
80﹣1x2=61，
1x2=16，
x2=1．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
20、3
【解析】把三角函数的特殊值代入运算即可．
【详解】解：原式
21、33.1米
【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．
【详解】解：
过点D作DF⊥AB，如图所示：
在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°
∴AF=DF=21米
在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°
∴EF=DF×tan30°=米
∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．
答：条幅的长AE约是33.1米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．
22、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式，即可求解；
（2）记火车站为A，沙冲路为B，望城坡为C，新村为D，然后采用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的情况，即可得出其概率.
【详解】（1）P（选择沙冲路站出发）=；
（2）记火车站为A，沙冲路为B，望城坡为C，新村为D
列表如下：
由图可知共有16种等可能情况，满足条件的情况是6种
P（菁菁与琪琪出发的站恰好相邻）=
【点睛】
此题主要考查概率的求解，熟练掌握，即可解题.
23、（1）；（2）见解析；（3）4或﹣5+或﹣3+
【分析】（1）证明△ADB∽△ABC，可得，由此即可解决问题．
（2）想办法证明∠BEA=∠EFC，∠DBC=∠C即可解决问题．
（3）分三种情形构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）∵AB=8，AC=12，又∵AB2=AD•AC
∴
∵AB2=AD•AC，
∴，
又∵∠BAC是公共角
∴△ADB∽△ABC，
∴
∴=
∴．
（2）∵AC=12，，
∴，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C，
∵△ADB∽△ABC
∴∠ABD=∠C，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠BEF=∠C+∠EFC，
即∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，
∵∠AEF=∠C，
∴∠BEA=∠EFC，又∵∠DBC=∠C，
∴△BEG∽△CFE．
（3）如图中，过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，设BE=x，CF=y，
∵AH∥BC，
∴====，
∵BD=CD=，AH=8，
∴AD=DH=，
∴BH=12，
∵AH∥BC，
∴=，
∴=，
∴BG=，
∵∠BEF=∠C+∠EFC，
∴∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，
∵∠AEF=∠C，
∴∠BEA=∠EFC，
又∵∠DBC=∠C，
∴△BEG∽△CFE，
∴=，
∴=，
∴y=；
当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①若GE=GF，如图中，则∠GEF=∠GFE=∠C=∠DBC，
∴△GEF∽△DBC，
∵BC=10，DB=DC=，
∴==，
又∵△BEG∽△CFE，
∴==，即=，
又∵y=，
∴x=BE=4；
②若EG=EF，如图中，则△BEG与△CFE全等，
∴BE=CF，即x=y，
又∵y=，
∴x=BE=﹣5+；
③若FG=FE，如图中，则同理可得==，
由△BEG∽△CFE，可得 ==，
即=，
又∵y=，
∴x=BE=﹣3+．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质以及相似三角形的综合运用，解题关键是构建方程组进行求解.
24、（1）；（2）存在，．
【分析】（1）将点A的坐标代入直线y＝x解得：k＝3，则点A（3，3），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）将△ABO绕点O逆时针旋转90°得到△B1A1O，则点A1、B1的坐标分别为：（−3，3）、（0，2）；则抛物线的对称轴为：x＝1，则点C（2，2），即可求解．
【详解】（1）将点A的坐标代入直线y＝x，解得：k＝3，
∴点A（3，3），．
∵二次函数的图象过点，，
∴解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）存在．
∵，，绕点逆时针旋转得到，
∴，．
∵抛物线的对称轴为，
∴点关于直线的对称点为．
设直线的解析式为，
∴解得，
∴．
当时，，
∴．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25、 (1)27；(2)证明见解析；(3)＝.
【分析】(1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论；
(2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
(3)设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论.
【详解】解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27.
(2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
(3)∵＝，
设BF＝k，
∴CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴＝＝.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．
26、x＝5或x＝﹣２．
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，然后再运用因式分解法解方程即可解答．
【详解】将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣10＝0，
则（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝0，
解得x＝5或x＝﹣2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的四种解法．
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