高等工程数学课后习题答案.doc

第六章
7、 设X1，X2，…Xn为总体X~N（μ，σ2）的样本，求E[]，D[]。
解：E[]=（n-1)E[]=(n-1)σ2
由于
所以 D[]= =σ22（n-1)

8、 设X1，X2，…X5为总体X~N（0，1）的样本，
（1） 试拟定常数c1、d1，使得并求出n；
（2） 试拟定常数c2、d2，使得。
解：（1）且总体为X~N（0，1），所以c1=，d1=
由于分布具有可加性，即若Xi~（i=1，……k），且各样本互相独立，则
，所以n=2。
（2） 由于，， ， 且互相独立，
所以+
由于，
所以，所以
10、 设X1，X2，…Xn，Xn+1为总体X~N（μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，试证：
（1）
（2）
（3）
证明：（1）由于
所以
所以，即
（2）由于
所以
（3）由于，

所以

15、 设X1，X2，…Xn，1为总体X的样本，假如X具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。
（1）
（2）
解：（1），所以的矩估计量是：
似然函数
对数似然函数
，所以的极大似然估计是：
（2） ，所以的矩估计量是
似然函数：
对数似然函数：
，所以的极大似然估计是：
18、 设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…Xn，为X的样本
（1） 求k，使得记录量是的无偏估计，
（2） 求c，使得记录量是的无偏估计。

解：（1）由于
而
所以
所以
（2）
所以，故当时，是的无偏估计。
21、设总体X服从二项分布B（N，P），X1，X2，…Xn，为其样本，求参数P的最小方差无偏估计。
解：此时X的概率函数为：
所以P的无偏估计的方差下界是，若以样本均值作为P的估计，显然是P的无偏估计，所以是P的最小方差无偏估计。
23、 求X~N（μ，σ2），σ2已知，问需抽取容量n为多大的样本才干使μ得置信度为的置信区间长度不大于L？
解：μ的置信度为的置信区间为，区间长度为，
由

第七章

10、 从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含碳率（%）为：
甲
24.3
20.8
23.7
21.3
17.4
乙
18.2
16.9
20.2
16.7
18.2
假定含碳率服从正态分布，且，问甲、乙两煤矿的含碳率有无显著差异（α=0.05）？

19、观测得两样本值如下：
A
20.54
27.33
29.16
21.34
24.41
20.98
29.95
17.38
B
26.27
25.09
21.85
23.39
28.41
22.60
24.64
13.62
问两样本是否来自同一个总体（）？
解：检查假设：
其中分别为A、B的分布函数，由于
故接受,即来自同一个总体。
22、 某药治疗效果如下
年龄
疗效
儿童
成年
老年

显著
58
38
32
128
一般
28
44
45
117
较差
23
18
14
55

109
100
91
300
解：题r=s=q=3,且由此算得检查记录量的观测值为：
=300（0.0095+0.0017+0.004+0.017+0.0021+0.0085+0.0015+0.0020+0.0014）=14.31
而
所以接受，即与年龄有关。

第八章

6、 设有线性模型其中是未知参数，试求：
（1） 的最小二乘估计；
（2） 试导出假设：的检查记录量。
解：（1）记，，，
则原线性模型可表达为从而的最小二乘估计是

所以

习题5
设有线性模型
其中
（1） 试求
（2） 证明：充要条件是
解（1）
X=

Y=X E( =

= =
令A=（

=

= =

(2) ,,