高等工程数学练习题及答案样本.doc

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高等工程数学练习题 ( 12月16)

1. 位男士和位女士排成一行, 要求男女相间, 求有多少种不同的排法?
把n个男、 n个女分别进行全排列, 然后按乘法法则放到一起, 而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2·(n!) 个
2. 个人围圆圈坐下做游戏, 求不同的坐法数? 若某两人不愿坐在一起, 有多少种不同的坐法? 若有3人总是坐在一起, 又有多少种不同的坐法?
A: Q(n ,n)=(n-1)!;
B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2! =(n-1)!- (n-2)! *2!
C: Q(n-2,n-2) *3! = (n-3)! *3!

3. 书架上有一部24卷的百科全书, 现要从中取出5本, 使得没有两本书是连续的, 问有多少种不同的取法?
C(24-5+1,5)=C(20,5)
4. 设 ( 1) 证明最大元素恰为的子集的个数是; ( 2) 证明:
A、 最大元素恰为的子集的个数, 相当于前j-1个元素, 每个元素出现或不出现的情况构成的所有子集的数量, 每个元素出现或不出现2种可能, 因此j-1个2相乘即为所有的情况, 即。
B:等比数列a1=2,q=2
右侧为1+(2*( 1-2^m) /1-2)=2^(m+1)-2+1=2^(m+1)-1=左侧
5. 证明等式:
C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(n n);
C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1);
……
C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0~n
C(n k)相当于( 0 0) 到直线{( n 0) (0 n)}上的某点( n-k,k) 的路径
C(n n-k) 相当于直线{( n 0) (0 n)}上的某点( n-k,k) 到( n n) 的路径
根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于( 0 0) 点经过直线{( n 0) (0 n)}上的某点( n-k,k) 到( n n) 的路径
左侧为( 0 0) 点经过直线{( n 0) (0 n)}上所有点到( n n) 的路径相加
由于( 0 0) 点到达( n n) 的所有路径均经过直线{( n 0) (0 n)}, 因此根据加法原理左侧为( 0 0) 点到( n n) 的所有路径即等于( 2n n)
6. 证明恒等式:

( -r-1,0) 到(-1,i)路径为c(r+i,i)
(-1,i)到(0,i)路径为1
(0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i)
根据乘法原理, c(r+i,i) c(n-i.m-i)为( -r-1,0) 经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径
左侧为i取0至m, ( -r-1,0) 经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径之和,
右侧围( -r-1,0) 到(n-m,m)点的路径
左右相等
7. 求不定方程的非负整数解的个数; 设, 求不定方程的正整数解的个数.
C( n+r-1,r)
C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球, 球数量变成r-n, 再求解。
8. 求集合完全可重排列数.
n=14 r=14
N=14!/(3!*4!*3!*4!)
9. 试求个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案?
相当于n个球放入6个不一样的盒子, C(n+6-1,n)
10. 设凸边形的任意三条对角线不共点, 试求这个凸边形的对角线交于多少个点?
每个交点只有两个对角线经过, 对应了4个顶点所组成的一个组合, 不同的交点对应的组合也不相同, 故共有C(n,4)个交点
11. 求由组成的长为的允许重复的排列中, 至少出现一次的排列的数目.
|A|=|B|=3^n
|A^B|=2^n
|S|=4^n
=4^n-2*3^n+2^n
12. 在10个数的全排列中: (1) 恰有4个数在原来位置上的排列数; (2) 至少有3个数在原来位置上的排列数; (3) 恰有个数不在原来位置上的排列数; (4) 奇数都在奇数位上, 偶数都在偶数位上, 但没有一个数在原来位置上的排列的个数.
1、 C(10,6)D6
2、 10!-C(10,8)D8 相当于减去1、 2个数的错排
3、 C(10,3)D3
4、 相当于2组5个数错排的乘法D5*D5

13. 求解下列递推关系式:
(1)
X^2+14X+49=0
X=-7是二重根
An=( A+Bn) (-7)^n
(2)
X^2-12x+27=0
X=3 x=9
An=a3^n+b9^n
a+b=-1
3a+9b=1
a=-5/3
b=2/3
an=-5*3^(n-1)+2*3^(2n-1)

(3)
X^3+6x^2+12X+8=0
X^3+4x^2+2x^2+8x+4x+8=0
X^2(x+2)+4x(x+2)+4(x+2)=0
(X+2)(x^2+4x+4)=0
(X+2)(x+2)^2=0
(x+2)^3=0
X=-2是三重根
An=(a+bn+cn^2)(-2)^n
1=(a+0+0)1
2=(a+b+c)*(-2)
4=(a+2b+4c)4
a=1,b=-4,c=2
an=(1-4n+2n^2)*(-2)^n
(4)
X^4+x^3-3x^2-5x-2=0
X^4+x^3-3x^2-3x-2x-2=0
X^3(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)=0
(x+1)(x^3-3x-2)=0
(x+1)((x^2-3)(x+1)-(x^2-1))=0
(x+1)( (x^2-3)(x+1)-(x+1)(x-1))=0
(x+1)(x+1)(x^2-3-x+1)=0
(x+1)(x+1)(x+1)(x-2)=0
X1=x2=x3=-1,x4=2
An=(a+bn+cn^2)(-1)^n+d2^n
a+d=1
2d-a-b-c=2
4d+a+2b+4c=1
8d-a-3b-9c=1
a=16/27,b=-53/18,c=7/6,d=11/27
an=(16/27-53n/18+n^2(7/6))(-1)^n+(2^n)(11/27)
(5) ;
设an=p5^n
P5^n-4p5^n-1=5^n
P=5
因此an=5 ^(n+1)
(6) .
An=pn^2+qn
Pn^2+qn-p(n-1)^2-q(n-1)=4n+1
P=2,q=3
An=2n^2+3n
14. 求从1到500的正整数中被3或7整除的数的个数.
容斥原理:
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
∟500/3」+∟500/7」-∟500/21」=166+71-23=214
15. 求1,2,3,5,7,9五个数字组成的位数的个数, 要求其中1,2出现偶数次, 3,5出现奇数次, 7,9没有限制.
G(x)=(1+x^2/2!+x^4/4!+……)^2*(x+x^3/3!+x^5/5!+……)^2*(1+x+x^2/2!+x^3/3!+……)^2
=(e^x+e^(-1))^2/2*(e^x-e^(-1))^2/2*(e^x)^2
=(1/16)*(e^6x-2e^2x+e^(-2)x)
an=(6^n-2^(n+1)+(-2)^n)/16
16. 复习第二类数的性质. 复习资数中鸽笼原理部分的例题.
17. 四位小朋友排成一行, 但不愿排在第二位, 不愿排在第三位和第四位, 不愿排在第一位, 不愿排在第二位和第三位, 求不同的排法数.
A1=x1在第二位、 a2=x2在第三和第四位、 a3=x3在第一位、 a4=x4在第二位和第三位
|A1∩a2∩a3∩a4|=n-|a1∪a2∪a3∪a4|
=4!-(|a1|+|a2|+|a3|+|a4|-|a1∩a2|-|a1∩a3|-|a1∩a4|-|a2∩a3|-|a2∩a4|-|a3∩a4|+|a1∩a2∩a3|+|a1∩a2∩a4|+|a1∩a3∩a4|+|a2∩a3∩a4|-|a1∩a2∩a3∩a4|)
=4!-(3!+2*3!+3!+2*3!-2*2!-2!-2!-2*2!-(2!+2*2!)-2*2!+2+1+1+(2+1)-1)
=24-(6+12+6+12-4-2-2-4-6-4+2+1+1+3-1)
=4
18. 设集合的基数为, 求的值.
2^n
19. 设集合的一个分划是, 试写集合上对应于以上分划的等价关系.
Ia∪{<2,3><3,2>}∪{<4,5><5,4><4,6><6,4><4,7><7,4><5,6><6,5><5,7><7,5><6,7><7,6>}
20. 设是正整数, 在上规定关系为: , 证明是上的一个等价关系.

xRyóx≡y(modn)ón|x-y|
1、 自反: n|x-x|óxRx
2、 传递: xRyóx-y=kn,yRzóy-z=ln ,x-z=kn+y+ln-y=(k+l)nón|x-z|óxRz
3、 对称: xRyóx-y=kn, y-x=-knón|y-x|óyRx
因此R是上的一个等价关系
21. 证明代数系统与同构, 其中和分别是普通的数的加法和乘法.
设映射f:R->R+为f(x)=10^x
对于任何y∈R+ 存在x=lgy使f(x)=y,因此f是R->R+的满射; 任意x, y∈R, 如果10^x=10^y,则x=y, 因此f是R->R+的单射, 因此f是R->R+的双射, 又由于f(x+y)=10^(x+y)=10^x*10^y=f( x) *f(y),因此f是R到R+的同构映射, 即R≌R+
22. 设, 试写出的对称群和交代群.
对称群:
(1),(23),(24),(12),(34),(13),(14),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(1234),(1342),(1243),(1324),(1432),(1423),(12)(34),(13)(24),(14)(23)
交代群:
(1),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(12)(34),(13)(24),(14)(23)
23. 试把置换表成不相交循环的乘积, 并表示成对换的乘积.
(1,10,3,7,9,6,8,2)(4,5)=(1,2)(1,8)(1,6)(1,9)(1,7)(1,3)(1,10)(4,5)
24. 试证明和均为循环群, 并分别求出其一个生成元.
整数加群的e为0, a^(-1)=-a , a^n=na
a=1 时 1^n=n n∈Z 因此整数加群是无限循环群 其中一个生成元是1
a=-1 时 a^n=-n n∈Z 因此-1是其另一个生成元

模n加群元素为{0,1,2,……,n-1}
a^k=(ka)mod(n)
a=1时 1^k=(k)mod(n) 1^0=0,1^1=1,1^2=2,……1^(n-1)=n-1 k∈Zn 1^k∈Zn
因此模n加群是循环群 1是她的一个生成元
25. 证明是域的充分必要条件是为素数.
反证法:
若n=ab a,b∈( Zn, +,.) a>1 b>1 则a是左零因子, b是右零因子
这与Zn是域, 故没有零因子矛盾;
证有任意a∈( Zn, +,.) 逆元
n是素数 1<a<n (a,n)=1
存在u, v使得 au+nv=1 在Zn中 nv=0
即au=1 a的逆元存在为u
26. 试构造一个4阶的域, 并写出乘法群的生成元.
+
0
1
x
1+x
0
0
1
x
1+x
1
1
0
1+x
x
x
x
1+x
0
1
1+x
1+x
x
1
0

*
0
1
x
1+x
0
0
0
0
0
1
0
1
x
1+x
x
0
x
x+1
1
1+x
0
1+x
1
x
x^0=1 x^1=x x^2=x+1 x是乘法群的生成元