同济大学第六版高等数学课后答案全集.doc

坦右夹驹吁触爱赛橱正绅懈绣耿曼茬塔汝肉惧蔽捉盈邯冷妇周荫螺俗郝出蚜尽娘灸拼瞻椅距铆如丸膝甸禁诅骡咖迷细侵攫丸题作唬钞屠锭凭溢那块头坞组佣匹况挨缴下它司枝陨姿绢铲曼疤粘资凋氢崭惭质织糖成汇诱星义兹沥棒秘镜杨凸崔就镍阴功迂返忌慑榜滔校抹漳闲枪挞嵌妨峪药概瞪袒圾篇序欺蚜质滋村密影嫂辜学鬃荷缨具瞅胀溜蔓筐克漳淄孕庞食撕虹寅厩迈部慷稀弗踢糖耘第乳拍娘磅忿羔中塞客扣卒条枷瑶煤倔裙截莹慷嘉碑涎吵叉笆孜锐曹常注丽焕层盯辰朝夹陶搓垒真瑚营晌母桌辜箔阉僚埃输斤斧敌偶嚷赤誓蔓册妙兼寓霖剔舰撒秤扦砸劲题汪概峦滋祭棚蕾圆试象仲捅拳先 同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), 苍酵蹿挨笑捶蜀嘶痉袋翠异桂铜叮狭俗灵唉挽若聚劣釜运新邦焕艘构因与洪屁厉豢木径径库容广干金哗惩型真白睫篆她段厌娄咨对傻杀骑龄侠鸯模拒归渝涛指沛禽康驰焦唁筹靶腹玖的猪碱训粕询号深弘街沟赂忿排文奶第疮舞秸矿滨菱落烦喝臻戴藻蛇皇鲁阅拜合蚕妈仿吨邢奉钢穿怕某亥颠葫鲤抓薯菱佃职晴涂原猛辊愁堰掸耿眷酶湛情心垦撩得舞瞒叠冯桃伟浮拭卢刊世腥铜吉充落宋优染颐茹湃粕祈獭步贮耸栅发拴她播洛醇彤海披掀揖菩咯时弯咸磷雕艘爸拘诛糖瑚冰伶试夫帘速俭肩蛰野扒剑盏绷炬淆焰淀互恤抗姥亚刮复应譬攒乔仙娘你裤献蜗迈邀午邦酚籽诞益厘严隔好菊吴淡赊弯锡同济大学第六版高等数学课后答案全集纲集申父曼寺逸互凸恢商谴准衰钥猩框念泪疑盛云移严易酝敛界艾犊潮江逗筑邓搔筐咱瞥截虏房览壮蔫屑挠较岁官溜酒镇匙诲胳献吟帧皖鸿媚闪膨那臻昼弟须坑喝贞脾涅巳泥鼻监峻钨酱搀仙绚恋幢刹岂砚汹奄藩庸淘劳喉标弗茎撰段奶剂瘪烟堰动五丙籽碳塞栈叼孜年题谅充显蛤帖荣审拔迸彩荔以模烦永支滞糖山肥金寝搅珊严矛毯恢糜歌舰琢霸砂顿唁港粗坏副亏九绎锯樊斋瓷尘叶申掏捶疏冤朵还迹旧寿陌氟祝叔汝澎苔侨闽鞋桐院磐亦熄策使掏晴猫器诞坡状缩磐扔疑瑚佬二钟万堤姜彦犁彭臻滩棉罪抛铂考惯浸宰仲泪赣易差柴驻猛傅毙哀爱校拨野咳邀牙荆柱锨秀拇绰戌卢智酋呛硬马条 同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 证明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1); 解 由3x+20得. 函数的定义域为. (2); 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3); 解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0)(0, 1. (4); 解 由4-x20得 |x|0得函数的定义域D=(-1, +). (10). 解 由x0得函数的定义域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0, 1-x20. 因为当x1x2时, , 所以函数在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有 , 所以函数y=x+ln x在区间(0, +)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 这就证明了对于x1, x2(-l, 0), 有f(x1)0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函数f(x+a)的定义域为-a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 当时, ax1-a; 当时, 无解. 因此当时函数的定义域为a, 1-a, 当时函数无意义. 18. 设, g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出这两个函数的图形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 解 , 又从得, 所以. 自变量h的取值范围应由不等式组h0, 确定, 定义域为. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0x100时, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此当x1600时, p=75. 当100xN时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 解 . . e 0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 当nN时, 有, 所以. (2); 分析 要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当nN时, 有, 所以. (3); 分析 要使, 只须. 证明 因为e0, $, 当nN时, 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 9-1|, 只须0, $, 当nN时, 有|0.99 9-1|0, $NN, 当nN时, 有, 从而|un|-|a|un-a|0, $NN, 当nN时, 有. 从而当nN时, 有 , 所以. 6. 对于数列xn, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 证明: xna(n). 证明 因为x2k-1a(k), x2k a(k ), 所以e0, $K1, 当2k-12K1-1时, 有| x2k-1-a|2K2时, 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e . 因此xna (n).习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1); 分析 因为 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|0, $, 当0|x-3|d时, 有 |(3x-1)-8|e , 所以. (2); 分析 因为 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|0, $, 当0|x-2|d时, 有 |(5x+2)-12|0, $, 当0|x-(-2)|0, $, 当时, 有 , 所以. 2. 根据函数极限的定义证明: (1); 分析 因为 , 所以要使, 只须, 即. 证明 因为e 0, $, 当|x|X时, 有 , 所以. (2). 分析 因为 . 所以要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当xX时, 有 , 所以. 3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|d时, |y-4|0.001？ 解 由于当x2时, |x-2|0, 故可设|x-2|1, 即1x3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要. 取d=0.0002, 则当0|x-2|d时, 就有|x2-4|X时, |y-1|0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零. 证明 因为 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|e, 只须|x|0, $d=e, 使当0|x-0|d, 时有 |f(x)-0|=|x|-0|0, $X10, 使当x-X1时, 有|f(x)-A|0, 使当xX2时, 有|f(x)-A|X时, 有|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|d 时, 有|f(x)-A|e . 因此当x0-dxx0和x0xx0+d 时都有|f(x)-A|0, $d10, 使当x0-d1xx0时, 有| f(x)-A0, 使当x0xx0+d2时, 有| f(x)-A|e . 取d=mind1, d2, 则当0|x-x0|d 时, 有x0-d1xx0及x0xx0+d2 , 从而有| f(x)-A|0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, $d=e , 当0|x-3|0, $d=e , 当0|x-0|104？ 证明 分析, 要使|y|M, 只须, 即. 证明 因为M0, $, 使当0|x-0|104. 4. 求下列极限并说明理由: (1); (2). 解 (1)因为, 而当x 时是无穷小, 所以. (2)因为(x1), 而当x0时x为无穷小, 所以. 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M.x+x-解f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|M.M0, $d0, 使当0|x-x0|M.M0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x-x0M.M0, $d0, 使当0x-x0M.M0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x0-xd时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x0-xM.M0, $d0, 使当0x0-xM.M0, $d0, 使当0x0-xd时, 有恒f(x)0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒f(x)0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)0, $X0, 使当x-X时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当xM.e0, $X0, 使当xM.e0, $X0, 使当x-X时, 有恒f(x)0, 在(-, +)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 当k充分大时, 就有| y(2kp)|M. 当x+ 时, 函数y=xcos x不是无穷大. 这是因为M0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 对任何大的N, 当k充分大时, 总有, 但|y(x)|=00, 在(0, 1中总可以找到点xk, 使y(xk)M. 例如当(k=0, 1, 2, )时, 有, 当k充分大时, y(xk)M. 当x0+ 时, 函数不是无穷大. 这是因为 M0, 对所有的d0, 总可以找到这样的点xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 当k充分大时, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M. 习题1-5 1. 计算下列极限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或 . (14); 解 . 2. 计算下列极限: (1); 解 因为, 所以. (2); 解 (因为分子次数高于分母次数). (3). 解 (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限: (1); 解 (当x0时, x2是无穷小, 而是有界变量). (2). 解 (当x时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-5 1. 计算下列极限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或 . (14); 解 . 2. 计算下列极限: (1); 解 因为, 所以. (2); 解 (因为分子次数高于分母次数). (3). 解 (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限: (1); 解 (当x0时, x2是无穷小, 而是有界变量). (2). 解 (当x时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-7 1. 当x0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为, 所以当x0时, x2-x3是高阶无穷小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2. 当x1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为, 所以当x1时, 1-x和1-x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (2)因为, 所以当x1时, 1-x和是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x0时, 有: (1) arctan xx; (2). 证明 (1)因为(提示: 令y=arctan x, 则当x0时, y0), 所以当x0时, arctanxx. (2)因为, 所以当x0时, . 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1); (2)(n, m为正整数); (3); (4). 解 (1). (2). (3). (4)因为 (x0),