离散数学课后习题答案(第三章).doc

证明 :设A上定义得二元关系R为:
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RÛ=
① 对任意＜x,y＞∈A,因为=,所以
＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R
即R就是自反得。
② 设＜x,y＞∈A,＜u,v＞∈A,若
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RÞ=Þ=Þ＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R
即R就是对称得。
③ 设任意＜x,y＞∈A,＜u,v＞∈A,＜w,s＞∈A,对
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R
Þ(=)∧(=)Þ=
Þ＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R
故R就是传递得,于就是R就是A上得等价关系。
3-10、6 设R就是集合A 上得对称与传递关系,证明如果对于A中得每一个元素a,在A中同时也存在b,使<a,b>在R之中,则R就是一个等价关系。
证明 :对任意a∈A,必存在一个b∈A,使得＜a,b＞∈R、
因为R就是传递得与对称得,故有:
＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈RÞ＜a, c＞∈RÞ＜c,a＞∈R
由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈RÞ＜a,a＞∈R
所以R在A上就是自反得,即R就是A上得等价关系。
3-10、7 设R1与R2就是非空集合A上得等价关系,试确定下述各式,哪些就是A上得等价关系,对不就是得式子,提供反例证明。
a)(A×A)-R1;
b)R1-R2;
c)R12;
d) r(R1-R2)(即R1-R2得自反闭包)。
解 a)(A×A)-R1不就是A上等价关系。例如:
A={a,b},R1={＜a,a＞,＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞,＜a,b＞,＜b,a＞,＜b,b＞}
(A×A)-R1={＜a,b＞,＜b,a＞}
所以(A×A)-R1不就是A上等价关系。
b)设 A={a,b,c}
R1={＜a,b＞,＜b,a＞,＜b,c＞,＜c,b＞,＜a,c＞,＜c,a＞,＜a,a＞,＜b,b＞,＜c,c＞}
R2={＜a,a＞,＜b,b＞,＜c,c＞,＜b,c＞,＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞,＜c,a＞}
所以R1与R2就是A上等价关系,但R1-R2不就是A上等价关系。
c)若R1就是A上等价关系,则
＜a,a＞∈R1Þ＜a,a＞∈R1○R1
所以R12就是A上自反得。
若＜a,b＞∈R12则存在c,使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称,故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1Þ＜b, a＞∈R12
即R12就是对称得。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1
Þ($e1)(＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧($e2)(＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1)
Þ＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1(∵R1传递)
Þ＜a,c＞∈R12
即R12就是传递得。
故R12就是A上得等价关系。
d)如b)所设,R1与R2就是A上得等价关系,但
r(R1-R2)=(R1-R2)∪IA
={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞,＜c,a＞,＜a,a＞,＜b,b＞, ＜c,c＞}
不就是A上得等价关系。
3-10、8 设C*就是实数部分非零得全体复数组成得集合,C*上得关系R定义为:(a+bi)R(c+di)Ûac>0,证明R就是等价关系,并给出关系R得等价类得几何说明。
证明:(1)对任意非零实数a,有a2>0Û(a+bi)R(a+bi)
故R在C*上就是自反得。
(2) 对任意(a+bi)R(c+di)Ûac>0,
因ca=ac>0Û(c+di)R(a+bi),
所以R在C*上就是对称得。
(3)设(a+bi)R(c+di) ,(c+di)R(u+vi),则有ac>0Ùcu>0
若c>0,则a>0Ùu>0Þ au>0
若c<0,则a<0Ùu<0Þ au>0
所以(a+bi)R(u+vi),即R在C*上就是传递得。
关系R得等价类,就就是复数平面上第一、四象限上得点,或第二、三象限上得点,因为在这两种情况下,任意两个点(a,b),(c,d),其横坐标乘积ac>0。
3-10、9 设Π与Π¢就是非空集合A上得划分,并设R与R¢分别为由Π与Π¢诱导得等价关系,那么Π¢细分Π得充要条件就是R¢ Í R。
证明:若Π¢细分Π。由假设aR¢b,则在Π¢中有某个块S¢,使得a,b∈S¢,因Π¢细分Π,故在Π中,必有某个块S,使S¢Í S,即a,b∈S,于就是有aRb,即R¢ Í R。
反之,若R¢ Í R,令S¢为H¢得一个分块,且a∈S¢,则S¢=[a]R¢={x|xR¢a}
但对每一个x,若xR¢a,因R¢ Í R,故xRa,因此{x|xR¢a} Í{x|xRa}即[a]R¢ Í[a]R
设S=[a]R,则S¢Í S
这就证明了Π¢细分Π。
3-10、10 设Rj就是表示I上得模j等价关系,Rk就是表示I上得模k等价关系,证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k就是j得整数倍。
证明:由题设Rj={<x,y>|x≡y(modj)}
Rk={<x,y>|x≡y(modk)}
故<x,y>∈RjÛx-y=c×j (对某个c∈I)
<x,y>∈RkÛx-y=d×k (对某个d∈I)
a)假设I/Rk细分I/Rj,则Rk Í Rj
因此<k,0>∈RkÞ<k,0>∈Rj
故k-0=1×k=c×j (对某个c∈I)
于就是k就是j得整数倍。
b)若对于某个r∈I,有k=rj则:
<x,y>∈RkÛx-y=ck (对某个c∈I)
Þ x-y=crj (对某个c,r∈I)
Þ<x,y>∈Rj
因此,Rk Í Rj,于就是I/Rk细分I/Rj
fjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasas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