离散数学课后习题答案(第三章).doc

证明 :设A上定义得二元关系R为:x,y, u,vR= 对任意x,yA,因为=,所以x,y, x,yR即R就是自反得。 设x,yA,u,vA,若x,y, u,vR=u,v,x,yR即R就是对称得。 设任意x,yA,u,vA,w,sA,对x,y, u,vRu,v, w,sR(=)(=)=x,y, w,sR故R就是传递得,于就是R就是A上得等价关系。3-10、6 设R就是集合A 上得对称与传递关系,证明如果对于A中得每一个元素a,在A中同时也存在b,使在R之中,则R就是一个等价关系。证明 :对任意aA,必存在一个bA,使得a,bR、因为R就是传递得与对称得,故有:a,bRb, cRa, cRc,aR由a,cRc, aRa,aR所以R在A上就是自反得,即R就是A上得等价关系。3-10、7 设R1与R2就是非空集合A上得等价关系,试确定下述各式,哪些就是A上得等价关系,对不就是得式子,提供反例证明。a)(AA)-R1;b)R1-R2;c)R12;d) r(R1-R2)(即R1-R2得自反闭包)。解 a)(AA)-R1不就是A上等价关系。例如:A=a,b,R1=a,a,b,bAA=a,a,a,b,b,a,b,b(AA)-R1=a,b,b,a所以(AA)-R1不就是A上等价关系。 b)设 A=a,b,c R1=a,b,b,a,b,c,c,b,a,c,c,a,a,a,b,b,c,c R2=a,a,b,b,c,c,b,c,c,b R1-R2=a,b,b,a,a,c,c,a 所以R1与R2就是A上等价关系,但R1-R2不就是A上等价关系。 c)若R1就是A上等价关系,则 a,aR1a,aR1R1所以R12就是A上自反得。若a,bR12则存在c,使得a, cR1c,bR1。因R1对称,故有b, cR1c,aR1b, aR12即R12就是对称得。若a,bR12b, cR12,则有a,bR1R1b, cR1R1($e1)(a, e1R1e1, bR1) ($e2)(b, e2R1e2, cR1)a,bR1b, cR1(R1传递)a,cR12即R12就是传递得。故R12就是A上得等价关系。 d)如b)所设,R1与R2就是A上得等价关系,但 r(R1-R2)=(R1-R2)IA =a,b, b,a, a,c,c,a,a,a,b,b, c,c不就是A上得等价关系。3-10、8 设C*就是实数部分非零得全体复数组成得集合,C*上得关系R定义为:(a+bi)R(c+di)ac0,证明R就是等价关系,并给出关系R得等价类得几何说明。证明:(1)对任意非零实数a,有a20(a+bi)R(a+bi)故R在C*上就是自反得。(2) 对任意(a+bi)R(c+di)ac0,因ca=ac0(c+di)R(a+bi),所以R在C*上就是对称得。(3)设(a+bi)R(c+di) ,(c+di)R(u+vi),则有ac0cu0若c0,则a0u0 au0若c0,则a0u0所以(a+bi)R(u+vi),即R在C*上就是传递得。关系R得等价类,就就是复数平面上第一、四象限上得点,或第二、三象限上得点,因为在这两种情况下,任意两个点(a,b),(c,d),其横坐标乘积ac0。3-10、9 设与就是非空集合A上得划分,并设R与R分别为由与诱导得等价关系,那么细分得充要条件就是R R。证明:若细分。由假设aRb,则在中有某个块S,使得a,bS,因细分,故在中,必有某个块S,使S S,即a,bS,于就是有aRb,即R R。反之,若R R,令S为H得一个分块,且aS,则S=aR=x|xRa但对每一个x,若xRa,因R R,故xRa,因此x|xRa x|xRa即aR aR设S=aR,则S S这就证明了细分。3-10、10 设Rj就是表示I上得模j等价关系,Rk就是表示I上得模k等价关系,证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k就是j得整数倍。证明:由题设Rj=|xy(modj)Rk=|xy(modk)故Rjx-y=cj (对某个cI)Rkx-y=dk (对某个dI)a)假设I/Rk细分I/Rj,则Rk Rj因此RkRj故k-0=1k=cj (对某个cI)于就是k就是j得整数倍。b)若对于某个rI,有k=rj则:Rkx-y=ck (对某个cI) x-y=crj (对某个c,rI)Rj因此,Rk Rj,于就是I/Rk细分I/Rjfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirgh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