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高等数学课后习题答案（上海交大版）：第一章函数1.设/（%）=、+1,求/（/）、/（%）。解答：/（/）=（/）2+1=%4+1,/（力y=*+12=%4+2/+葭所属章节：第一章第一节难度：一级I Ap-2-设求/）+/（一力解答：/（幻=竺1竺1 a+bc、然一1+厌一）公一力+及力/（一%）=-=-a+b a+b/)+/(-%)=然+加一 优一%+左一（一幻-1-b a+b所属章节：第一章第一节难度：一级2-10,3.设奴%）=2 0%V1,求0,0（2）,0（O）,0（-g）。x-1 1 x0叱1)；(4)y=(3-x+arcsin-.解答：（1）由者3%+2 W0解得定义域为（8,1）U（1,2）U（2,+00）；(2)由 1-1-x0解得定义域为（-1,1）;(3)由 2+x 0,1%0,1 解得定义域为2,0)U(M)；(4)由3 VI解得定义域为1,3。所属章节：第一章第一节难度：一级5.下列各题中，函数/(%)与g(%)是否相同？(1)/(%)=lg/,g(%)=21g%；(2)/(%)=%,(x)=VP-；(3)/(%)=*g(%)=.解答：(1)/(%)中的”可为一切实数，g(%)中的“要求大于零，即定义域不同，故函数不同;(2)/(%)将负数对应负数，而g(力把负数对应正数，对应法则不同，故函数不同；(3)/(%)中的“要求大于零，g(%)中的”可为一切实数，即定义域不同，故函数不同。所属章节：第一章第一节难度：一级6.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数？(1)夕=/(1-/)；(2)夕=3/-/；(3)y=loga-(7 0,7 1)；(4).=e+e；1+x 2(5)y=x1 cosx+1；(6).=ln(%+J1+/).解答：(1)偶；(2)非奇非偶；(3)奇；(4)偶；(5)偶；(6)奇所属章节：第一章第一节难度：一级7.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期为(1)夕=1+tan x；(2)y=cos(31+l)；(3)y=xsinx；(4)=sin2 x.7解答：(1)周期，且周期，r=r；(3)非周期；(4)利用等式P=5布2%=(一(85 2%知为周期函数，周期7=兀所属章节：第一章第一节难度：一级8.求下列函数的反函数：(1)?=/-2%;(2)y-yjx1+1；(3).=ln(%+Jl+f)；(4).=2j.解答：(1)由夕=/一2%,得歹=(%-1)2-1,解得=1Jy+1。所以当歹2-1时，反函如=1+J%+1,当p-1时，反函数片1-，r+l;(2)当夕时，尸心当/1时，p=J7=I；(3)由、=ln(%+J1+*),得=%+Jl+/,故(卢一%)2=1+/,户 一 夕一,y e%_ q-x解得了=-=所以反函数为夕=3；2N 2 2(4)由夕=上解得2，=上，即=log2上，所以反函数为p=log2-。21+1 1-j 1-j 1-x所属章节：第一章第一节难度：二级9.下列初等函数由哪些简单函数复合而成？(1).=也_/；(2)p=cos：%；(3)y=e,；(4)j=In sin 2x；_j_(5)y=sin2(3x+1)；(6)y-arctane/.2解答：(1)y zz=2 ；(2)y coszz,zz=j;；(3)p=e,=/；(4)p=ln,=sin匕卜=2%；(5)z/2,z/=sinr,v=3x+l；(6)p=arctan,=e1=一所属章节：第一章第二节难度：一级10.设厂(力=1,证明：(1)w(y)=&+y)；(2)翌=小3.产(力解答：(1)月().川(y)=C=*P=/V+p)；F(x)_ d 尸(了)仅(2)e=Fx-y)所属章节：第一章第二节 难度：一级11.设厂(%)=加(+1),证明：刀(/2)4(2)=户(%).解答：月(/2)月(2)=ln(f-2)+1)-ln(x-2)+1)=ln(x2-l)-ln(x-l)*1=In-=ln(x+1)=FQ)x-1所属章节：第一章第二节难度：一级12.设/(%)具有性质：/(%+力=/(%)+/(力，证明：必有/(0)=0,(%)=/()(为任意正整数)解答：在/(%+力=/(%)+/(力中，令”=0,即得/(0)=0。在/(%+力=/(%)+/(力中，令夕=，即得/(2%)=2/(%)；在/(%+力=/(%)+/(力中，令夕=2%，结合上式，即得/(3%)=3/(%)；设对正整数M 有/(3=伙%),则在/(%+歹)=/(%)+/(歹)中，令y=kx,结合假设有/(4+1)%)=(a+1)/(%),由数学归纳法得证。所属章节：第一章第二节难度：二级13.设/(%)=/(/(/(%)，若/(%)=+原，证明:_ _J/(、心1)”fnx=J+bnx(3).b解答：当=2时，2x,即等式成立；b-设=不时等式成立，即+，则当n=k+时，b-%(%)=/(/(/(%)=/(%)=+4幺然9+力力=吗?+，即等式也成立,得证。跖一 2 2所属章节：第一章第二节难度：二级14.验证下列恒等式：(1)sinh(x+j)=sinh xcosh j+cosh x sinhj；(2)cosh(x+y)=cosh xcosh j+sinh%sinh y；(3)sinhx+sinh y=2sinh x+cosh X；2 2(4)coshx-cosh 2sinhsinh.2 2解答：由定义sinh%=L,cosh%=十,从右往左证明 2 2-ex+ey e+ex-ey e+y-ex+y)sinh xcosh j+coshxsinhj=-+-=-=sinh(x+j),即 证2 2 2 2 2得(1)式；类似可证其他三式。所属章节：第一章第二节难度：二级第二章极限与连续1.用FN“定义来验证下列极限:(1)(2)1.377-2 3lim-=一00 2/7+1 2(3)lim(J+l-yri)-0；-00(4)1.a/2+lim-=1；-8 n(5)lim 孤=1(0)；nfg(6)lim 五=1.ns解答：(1)对任意0(无论它多么小，下同)，要使23_ 4一0一，故可取 7K=+lo 则对任意 0,存在=0+1,当7O寸,7星-00,要使3/7-2 32/z+l 2_ 7 1 7 1-,故可取7V=max(-,1)o则对任4s 2 4s 27 1意 0,存在 7K=max(-,1),当及时,4s 2 3/7-2 3lim-=00 2/z+l 23/7-2 32/z+l 2(3)对任意 20,要使,由于|J+1 一 W7诉T*故由极限定义11，只要二,故可取7V=+1 o 则对任意0,存在7K=+1,当nN时，110,要使i g了30,存在=1+1,当nN时，8=1 ll1时，记乙=-1,贝I=(1+/)多，对任意0,要使|我一，4,故可取7y=4+1,当时，|狼1卜2,由极限定义 lim服=1,(1)；0(1D/2,对任意20,要使|五一1|2,只要 4=|V-i|及时，|一1 0,由lim=，存在不，当 及时，|4一4 0，存在4，当227Vl时，口一同 一1 存在名，当2 12%1 时，.1一4及时,un-as,因止匕lim 11fl=a。所属章节：第二章第一节二级5.根据定义验证下列数列为无穷小:解答：(1)对任意co,由于/o寸，n n n s名1=220,由于二=2x2xx2x2,取;止+，则当 70寸,n x(一l)x x2xl n sy 4 4 7n p因此lim2=0,即数列 上 为无穷小。n n N-8！加所属章节：第二章第二节二级6.根据定义证明下列数列为无穷大：解答：（1）对任意的正数0（无论它多么大，下同），取7V=log2+l,则当时,W=22,因此呵2=oo,即数列2为无穷大；2 2（2）对任意的正数 0,取=3+1,则当 及时，-=因此2/z+l 3n 3limK*=oo,即数列 为无穷大。所属章节：第二章第二节难度：二级7.试举出满足下列要求的数列例子:(1)有界但无极限的数列；(2)无界但非无穷大的数列。1 偶解答：(1)q=(l)(2)坦所属章节：第二章第二节难度：二级8.求下列极限：/、2/Z3 3+4/7 1 1+2 H-F/7 lim-；(2)lim-；0 3 5+2 n(3)lim(+-+)；-J，3 2-4 3-5(+2)21(4)lim(sin!)(-).8 3+23 2 2 3十巧解答：(1)分子分母同除以3,lin?3*；1=而/J/；-8 3n-5n+2 8 S 2 3j-1Yn n(2)利用1+2+=-D,lim 1+2+；,+J lim 匕 1)=lim(l2 00 n 00 2/z2 00 2 2/z 2(3)利用I-I-I-1-=1+1-3 2-4 3-5 7/(/7+2)2 3 21 1 11 1,|，.I In 77+24 3 5=-1+-,lim(+-+)=lim-l+-=-；2 2 77+1/7+2-8，.3 2-4 3-5 7/(/7+2)仁 2+1+2 41(4)利用 sin!有界，lim-=0,极限 0-8 3/+2所属章节：第二章第二节 难度：一级9.利用数列单调有界必有极限的法则，证明下列数列极限存在：1?n(1)an=二 十 二+3+二，(=1，2,)；n n n(2)a=F 1-1 ,(77=1,2,)；3+1 32+l 3+l(3)4=1+：+:+3+：(=12,)解答：(1)数列4=3+4+彳,(=1,2,)单调增加，4=二+马+/=空11,n n n n n n In故极限存在;(2)数列4=工+工+上,(=1,2,)单调增加，且 3+1 3+1 3+11-X4=/+1片+J+g=；x+；，即数列又有界，故极限存在；J3(3)数列4=l+J+：,(=1,2,)单调增加，且%=1+4+=+41+,+=2-工2,即数列又有界，故极限存在。22 32 n 1x2 2x3(-1)n所属章节：第二章第三节难度：二级10.利用夹逼准则证明:(1)lim(-1-)=0；-8 2(+1)2(2/Z)2(2)lim(-/H/H-1.)=1.8 y7 J/+2 v/z2+/解答：(1)由于二(24/(+1)2(202 2而lim +1=lim=0,故由夹逼 00(27z)00 n准则有J+春+一+春)=;/八十 n 1 n n、.n，(2)由于一/V 厂/1/V-/,而 lim/=lim-/=1,V/z2+/z +储+2 储+J/+1 八 2+1故由夹逼准则有lim(厅二+)=1。V77T J/+2所属章节：第二章第三节难度：一级11.设有数歹U石=6/2=+后，马=,2+,2+后，,求limt。_7_/ns次解答：易知数列与单调增加，且%=)2+%,2+行42,设以V2,则=J2+0,%+i=不（与+一）,=1,2,，求lim专。2 xn 8参考答案：先证明t收敛，且呵t=6解答：由条件石0,%1=；（%+，）,=1,2,及平均不等式得t 0,彳 2 L =VI 又%+%=!（%+）%=1vo,即数列t单调减少，于是该数列收敛，设lim与=02 X lxn i贝心向专+=0,在等式=！（%+）两边取极限，即可解得（负值舍去），即 00 2 xnlim=V3 o-00所属章节：第二章第三节难度：二级13.利用函数极限的X”定义验证下列极限：（1）lim=0；（2）lim包=0；（3）lim-=-l；（4）lim（J%+1-石）=0.J：00%If+8解答：（1）对任意0（无论它多么小，下同），要使00。贝U对任意o,存在x=+o,当时，17一00,要使-00。%则对任意20,存在才=，08当忖 X时,皿 _OV0,要使2-X 尾工-(-1)4,故可取*=40。7则对任意20,存在X=0,当H不时,4-)x二0,要使|1-,由于|J%+1-11J%+i+G，只要X T，故可取 X=40 o则对任意0,存在 X=40,当%x 时，i1 1yjx+Vx 五,故由极限定义lim(V7+1-石)=0 oIf+8所属章节：第二章第四节二级13.利用函数极限的定义验证下列极限:(1)lim(5%+2)=3；”14(2)lim-=4；3%一2(3)limVx=2；14(4)lim/=4.x2解答：(1)对任意o(无论它多么小，下同)，要使|5%+2-(-3)|=5|%-只要I%-(T)|0。则对任意0,存在5=0|5x+2-(-3)|=5|x-(-l)|5b ,故由极限定义 lim(5x+2)=3；当|x-(-l)|0,要使4x 24=,-210。则对任意2o,存在3=2 0,当卜2|5 时,4X 22 _4-4=x-7。,要使冲斗一 8,只要|%-4|0。贝I对任意 0,存在3=0,当卜4|5时，2卜Iyjx+210,要使4|%-2|%+2|2,可先限定2V1,则相应有只要 p-4|0。贝U对任意 00,存在5=min(|u)0,当斤2|3时，卜2 _=|x-2|x+2|3|x-2|35=s,故由极限定义叫/-4所属章节：第二章第四节难度：二级%+2%2解答：当-2时，/(%)的左极限等于4,右极限等于0,故/(%)的极限不存在。所属章节：第二章第四节难度：一级16.根据定义证明:_Q(1)/(%)=匚当f 3时为无穷小；1+31+7 r(2)/(%)=匕三当;rf o时为无穷大。Xy2 Q解答：(1)对任意2 0，要使-0=|%3|0。则对/-Q任意0,存在3=0,当时，-0=|-3|0,要使上三,x由于=1+2一2,只要厉o o则对任意0+2存在8=0,当忖0%0 JT0或分子分母极限分别为1，或无穷小定义。所属章节：第二章第四节 难度：一级18.计算下列极限:(1)3 x-1(2)limx27x+10 f l225(3)-xlim-力-0 h(4)1.y/1+X 1lim-10 x(5)1 7吧（M）；（原题目有误）/、1.，3%y/1+x lim-/I(7)1.J 2%+1-3 lim f-产；I yjx-2-V2(8)limx0(1+mx)n-(1+nx1（77,加为正整数）.参考答案：（1）5；3(2)；10(3)2%；(4)(5)-；(6)-2 4x%-0 x12咨(8)mn(n-ni)忸八l).5 J，解答：（1）lim土里%2 x-1 lim(x-l)1if 2(2)八 1-7%+10先约分，lim-二lim“25 x5x+5 lim(x+5)10 x5(3)先化简，lim力-0(x+/if-X r Ixhr II c-=lim-=2x；h 力-o h(4)分子有理化,limJl+%1limx 2 _Wm(-2)311xJ1+%+1 2先通分，脚（L-3）=吧三吧/r?（6）分子有理化再约分作号产=助丽鼻7=4（7）分子分母有理化，再约分,Hm J2%+1-3 Hm，2%+1-3(2%+1+3)二1+收-2-I，J%-2-(J%-2+V)(J2jt+1+3)=lim%42(772+V2)_2V2VZr+1+3-3（8）分子两项分别按二项式展开，则分子的最低次塞为二次，系数为;勿），余为高 阶无穷力、，故 lim（1+尔）（l+zzr）=j_ mnn-m）。a。/2所属章节：第二章第四节一级19.计算下列极限:(、3x+2(1)lim-；aoo 1-4(2)lim(2x-r(32ff0(5%+1)5(3)lim(2-12x-l）；(4)lim一8112+/x解答：(1)分子分母同除以=-3；400 1 4%.00 1 4了-4(2x-3(3%+2f Q-)2(3+)3 220(2)分子分母同除以5。，lim左二U*L=limJJ=JJt8 r5r+iru 18 z-1 x sn 5（3）通分,lim(-y18 2x-1/+/1+%i-)=lim-=lim-2x-l(27-l)(2x-l)(2-x2)(2-x1)414(4)当|乂1 时，lim/=O,故 lim=2+/2+0 2当|卅 1 时，lim，=oo,n故lim001-/+12+/limf0 2%”+1Q-x-o+T=x；1 _+1当=1 时，Wn-1,%2+i=1,故 Um-=0；2+/1 _+1 7当=1 时，力筋=1,%2+1=_1,故lim-=2+/3所属章节：第二章第四节难度：一级20.计算下列极限:/1、tan2xCl)lim-；a。x,、sin%(3)lim-；力 f71 7T-X(5)lim咨二(2)(4)至7T2-X(6)sin 3%lim-；a。sin lx sinx-smzlim-x-alim%-ox4(1-cosx)2，2 arcsinx Jl+%sin%cos%(7)lim-；(8)hm-.zJl+%1 3 1-cosx笈刀石,1、tan2x sin2x sin2x 2 sin2x 2 八 八解合：Cl)lim-=lim-=lim-=lim-lim-=1x2=2；zo x zo xcos 2x a。2x cos 2x 力一。2x 1一。cos 2x/八、sin3x zsin3x 2x 3、3(2)lim-=lim(-)=；-0 sin 2%0 3%sin 2%2 2(八 sin%sin(-x)(3)lim-=lim-二 1；力一兀71-X%a。(兀-X)E.smx-sm-sin(/+)sm sm/cosz+cos/smz-smzx-a=t,则 lim-=lim -=lim-x a，f t，f t 2sm sm，2、=lim(-cos 4-sm 4-)=cos a；t t,u、a tc iyFr j.cos x.sm t 1(5)令”=，贝Uhm-=lim-=l；2 7 兀 f-t2-X24 4(6)lim-y=lim-0(l-cosx)-o(2sin2(7)/v rn/iz arcs in 1 1.分母有理化，lim,.-=hm一+1%一0arcsinx-(J1+l+l)-=2；X(8)分子有理化，limL-cs 力一。1-cosx.zsinx 八 xsmx(-+1)二 lim-二 2t 2 sin2 (V1+%sin x+cos x)所属章节：第二章第五节一级21.计算下列极限:(1)lim(l+)；foo 77+1(2)(3)7%8%(4)lim(l-3%)%；x0(5)(6)9 jr 1 lim(广 as 2x+l理(产lim(l-)L00 X1(l+)+i lim(l+L)+i解答：(1)lim(l+)=lim4-=-i +1-8-J lim(1+J)177+1-8 +1(2)lim(l-r=lim=-二一=-；i(l尸 lim(l-r ex 力一00 x(3)lim(l+2严=lim(l+2厂4im(l+-)3=lim(l+工)吓.1=/；%00 X%8 1%00%00 X21 1 1(4)lim(l-3%尸=lim-：=；(1-3%尸吓1(5)lim(l+tanx)cotT=lim(l+tanx)tanx=e；?_ 2%+l-2%(6)=lim(l+)-2 2-+1 oz 2x+l 2x+l所属章节：第二章第五节一级22.当-0时，2%-/与/相比，哪一个是高阶无穷小？r2 _ 3 2解答：因为lim 二=1而匚二=0,所以当1-0时，/比2%-/高阶无穷小%一02%一/2-x所属章节：第二章第二节难度：一级23.当-1时，1-%与(1)1-孤；(2)g(l-f)是同阶无穷小还是等价无穷小？解答：(1)当-1时，1加匕近=lim 一色 r-，故1-孤与1-%为同阶非等I 7(1-孤)(1+孤+疗)2价无穷小；91-/)|(1-%)(1+%)1(2)当 时，lim-=lim-=1,故一(1一/)与1一%为等价无穷小力3 X%-1 X 2所属章节：第二章第六节难度：一级24.当1-0时，试决定下列无穷小对于力的阶数：(1)/+10/；(2)疗-正；(3)(4)Vi+7-ViZ?.1+无解答：(1)2 阶；(2)阶；(3)1 阶；(4)4 阶3所属章节：第二章第六节难度：一级25.利用等价无穷小代换计算下列极限：,、tan3x,、sin(x2)lim-；(2)lim-；a。2%xsinxsinIx+x1/)、J1+/-1(3)lim-；(4)lim-；3 tan 31 a。1-cosx/、tanx-sinx“、xln(l+3x)(5)lim-；(6)lim-.Ml _ cos x)3 tan(x)解答：(1)当；r0 时，tan3%3%,limtanX=lim=；a。2%a。lx 2(2)当%0 时，sin%,sin/,故lim典叵=lim/一=1；%-。xsinx%一0/、出 八叶，o n+Zrr sin2x+x2 r sin2x+x2 r sin2x r x2 2(3)白了0 时，tan3%3%,故hm-=hm-=hm-+lim=一；了一 tan 3%一0 3x 3x 3%3(4)当 0 时，J1+0 1 Lfj-cos%-1，故-=lim=1；2 2 71-cosx a。，/2，八 小 八叶，tan%sin%tanx(l-cosx)(5)3 了0 时，tan%,故hm-=hm-=1；力一。x(l-cosx)1。Ml COS%)(6)当 10 时，tan(f)/,ln(l+3力3%,故6m%(1+尸=1血%；%=3。a。tan(x2)a。V所属章节：第二章第六节一级26.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:(1)/(%)=x 1,2-x,1 x 2;(2)/(%)=x,-l x i.解答：(1)已知多项式函数是连续函数，所以函数4)在0,1)和(1,2内是连续的。而在分段点41 处，因为y(l)=l,limlimx2=1,lim/，(x)=lim(2-x)=l,所以 lim/(%)=l,从而函 一 zi+%-1+数4)在户1处是连续的。综上所述，函数/(%)在0,2上连续；图形略。(2)由于多项式函数是连续函数，故只需考察函数在分段点4-1和ml处的连续性，在户一1 处，因为y(-l)=-l,lim/(%)=lim l=lw/(-l),lim/(%)=lim/=-1=/(-1),所以函数%+1一 1+1+JT+1+在 x=处间断,但右连续;在 X=处，因为=1)=1,lim/(%)=lim%=iyi),lim/(%)=lim 1=1一%1 一%1+所以函数在41处连续。综合上述讨论，函数/(%)在(-8,-1)与(-1,+00)内连续，在=-1处间断，为跳跃间断点。图形略。所属章节：第二章第七节难度：一级27.下列函数在所指点处间断，试确定其所属类型。若是可去间断点，则补充定义使它连续:(1)y=/3x+2/I(2)y=1-cosxX2,%=0；x 1,%=1；711(3)y-,%=0,1；(4)y=arctan ,1=0；Ml-%)%1 3+/,%o,(5)y-,%=0;(6)y=一2=而二=,所以=1是函数的第一类间断点，并 e e y-1 zi%+l 2且是可去间断点，补充定义/(1)=-；。因为limp=lim,一2=而立=co,所以=-1是函数的第二类间断点。%T X 1%-1 X+1(2)因为lim匕宇=1,所以=0为函数的可去间断点，可补充定义/(0)=1。a。/2 271cos-X(3)因为lim2=oo,所以4=0是函数的第二类间断点；10 XI _ 1)7T 7T.71cos x cos%sm/又因为lim=lim=lim；工 所以1=1为函数的可去间断点，可补充-Ml-)I l-x。t 2定义/(l)g(4)因为arctan，在_r=0处的左右极限分别为生和工，所以X=0为函数的跳跃间断点。%2 2(5)因为y=T在=0处的左右极限分别为1和0,所以=0为函数的跳跃间断点。1+e*3+三,%0、可补充定义/(0)=3。所属章节：第二章第七节难度：一级28.求下列函数的连续区间:1y=-yjx-3%+2(1)(2)y Vx 4+J6 x；(3)y-ln(2-x)；解答：(1)对函数p=i-,定义域为%wl,%w2,易知%=1与%=2是W3x+2 3(1)(%-2)函数的间断点，故连续区间为(-8,-1),(1,2),(2,+8)；(2)对函数7=J三+所定义域为4,6,且在其内部无间断点，故连续区间为4,6；(3)对函数p=ln(2-%),定义域为(-*2),且在其内部无间断点，故连续区间为(-8,2)；(4)对函数夕=、f2,定义域为(_oo,i)u2,+oo),且在其内部除=2外无间断点，故连续V x-1区间为(-*1),(2,+00)o所属章节：第二章第七节 难度：一级29.讨论函数/(%)=参考答案：连续解答：对函数/(%)=sin%，x1,2(717-1)xx 0,%=0,的连续性。sin%X1,2(J1+%1)%0,%=0,可能间断点为1=0,但在=0处，左右极限均等1 力于该点函数值1,故函数无间断点，即函数为处处连续函数。所属章节：第二章第七节难度：一级e*r 0,%0解答：要使函数/(%)连续，左极限应等于右极限，即知4=1。所属章节：第二章第七节 难度：一级31.求下列极限：(1)lim-2%+4；if o(2)lim(sin2x)3；ex_l(3)lim-a。2x人、sm 2x(4)limIn-;zo r,、1.)5%-4 yx(5)lim-；j In x(6)lim(J/+%-J%2-%)+8解答：(l)由于函数/(%)=-2%+4 在%=0处连续,故lim-2%+4=/(0)=2；(2)由于函数/(%)=(sin2%)3在1=工处连续，故lim(sin2%)3=/()=1；4 7 44(3)(4)(5)e_l/1可令=贝U%=ln(l+/),lim-=lim-=一；1。2%21n(l+/)2由于lim型上=2，而函数y=ln在=2处连续，故limln红上=nlim红卫=ln2；%0 1%0 1%0%r 人 1 rnri 1-V 5x 4 yx Jl+5t Jl+1(V1+5/)2 (V1+/)2 c可令=1+7,贝Uhm-=hm-=lim-/)一/=2；3 Inx，f ln(l+/)，f/(V1+5/+V1+/)(6)lim(J/+%-d-x)=lim /=1。f8 18 J/+%+J/一%所属章节：第二章第七节难度：一级32.设/(%)满足/(%+)=/(%)+/(为，且/(%)在=0连续，证明/(%)在任意点了处连续。解答：由/(%+歹)=/(力+/(为，令”=夕=0,得/(0)=0,由/(%)在=0连续，有/(0+Ar)-/(0)=/(Ax)的极限等于零，从而，在任意点处勺=/(%+Ar)-/(%)=/(Ar)的极限等于零，故/(%)在任意点1处连续。所属章节：第二章第七节难度：三级33.试证方程 3%-1=0在(1,2)内至少有一个实根。解答：设/(%)=/3%-1,则/(%)是闭区间1,2上的连续函数，因为1)=3,2)=25,XlM2)0,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点(1营 0,方 0)至少有一个不超过+方的正根。解答：设/(%)=sin%+6%,贝U/()是0,+句上的连续函数，/(0)=6，/(+/)=sin(+/)一4V 0,若/(+6)=0,则说明=+方就是方程；r=sin%+方的一个不 超过十方的根；若/(+功0,则/(0)/(+30,由零点定理，至少存在一点&(0,+3，使/C)=。，这说明”=也是方程”=sinX+方的一个不超过+方的根；总之，方程=sin%+方至少有一个正根，并且它不超过a+b。所属章节：第二章第八节难度：二级35.已知/(%)在0上非负连续，且/(0)=/(1)=0,证明对于任意实数必存在 实数式0幺1),使/=/6+1)。解答：题目有误题中/(&)=/(&+1)应为/(&)=/+，令月(%)=/(%)-/(%+/),则函数月(力在0,1-/上连续，当/(/)=0时，可取q=0；当/(1 /)=0时，可取自=1_/；当/(/),/(1-/)都不为 零时，刀(0)=/(0)/(/)=/(/)0,由零点定理，存在。(0,1/)u(0,1)，使刀(9=0，即所属章节：第二章第八节难度：三级36.设/(%)在(-8,+00)内连续，且lim/(%)=Z(常数)。证明/(%)在(-*+内有界。解答：令lim/(%)=4 则对于给定的20,存在E0,只要川 就有%00,即 A-s/(x)A+s,又由于4%)在闭区间-4力上连续，根据有界性定理，存在格0,使火4力,取 代max.|/一4|Z+,贝+oo),即y(%)在(一叫+与内有界。所属章节：第二章第八节难度：三级第三章导数与微分tl.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,/内转过角度是。，从而转角。是/的函数：0=0(/).如果旋转是匀速的，那么称叫=,为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，应怎样确 t定该物体在时刻4的角速度？所属章节：第三章第一节难度：一级2.一个圆锥体因受热而膨胀，在膨胀过程中，其高与地面的直径相等，问：(1)体积关于半径的变化率如何？(2)半径为5cm时，体积关于半径的变化率是多少？解答：(1)厂=冗户。r=乙几户，丝=2几/；(2)竺=50兀3 3 dr dr所属章节：第三章第一节难度：一级3.设=阳”)表示“个劳动力所生产的某产品的数量，若每个劳动力生产的产品数量相同，则,是常数，称为劳动生产率。实际上，产品的产量及并不是随劳动力力的增加而均匀增长 x的。试求劳动力数量为“。时的劳动生产率(边际劳动生产率)。解答：(。)所属章节：第三章第一节难度：一级4.假定/(%)可导，观察下列极限，指出力表示什么？(1)lim=/；中为/(%)-/)(2)1加821)-/(%)=/；反一 Ax(3)-二=4修。h(4)=且/(0)=0.解答：(1)1=lim=”h。/(%)一/(%)/(*)-/(/)/(/)力“)x-xG(2)(%-2Ax)-毛=-2Ar,A=lim/U2Ar)/U)=_2/().刈一。Ax(3)3-(3-0=九 4=lim/-=/；力-o h(4)/(0)=0,Z=1向幺=lim/(“)-八)=八0)%一 X%o X所属章节：第三章第一节难度：一级(1)lim x5.指 出下列极限是什么函数在哪一点的导数？(2)lim-；10 xarctan x-arctan 解答：(1)在=0处的导数；(2)(1+%)加在=0处的导数;(3)arctan%在%=一处的导数 4所属章节：第三章第一节难度：一级6.按定义证明：(cos%丫=-sin%。八.2%+Ar.Arz,A x-2sm-sm解答：因为lim也出上吨=lim-2-之心一o Ar 4r。Ar所以由导数定义，(cosx)r=-sinxo所属章节：第三章第一节 难度：一级7.按定义求下列函数的导数:(1)夕=/+3%-1；(2)夕=产；(3)p=cos(r+6)；(4)p=%sin%.解答.Q)由于 lim/+)一/()二 lim1(+3(%+Ar)1 (f+3%1)心一 Ar 4r Ar 2x-zkr+3-Ar+(Ar)2:lim-.=2x+3,心一0 Ar故了=2%+3；+工/(%+Ar)-/(%)r*r 1)勿(2)由于 lim-.八)二 lim-二 hm-:，心一0 Ax 4r一 Ar a=0 Ar故 y=e；(3)由于 lim/(%+=)/(%)=1向=3%+=)+，)-cos-)=一sin(+方)，-Ar。f。Ar故了=一sin3r+3)；(4)由于 lim/(+-/(%)心一o Ar_ Hm(%+Ar)sin(%+Ar)-%sin%Ar0 Ar_ Hm Arsin(%+Ar)+Msin(%+Ar)-sin%心一o Ax=sinx+xcosx,故/=sinx+xcosx所属章节：第三章第二节 难度：二级8.若函数月(%)在点=4处连续，且月(%)。0,问函数(1)/(%)=,一同 7r(%),(2)/(%)=(%-)月(%)在点=处是否可导？为什么？解答：(1)对函数/(%)=,-/(%),由于 lim/g+与)/()=1而(+一)=夕0,堤一o+Ar 刈o+Arlim/5+9)/()=1加 4F9Z 一3,故函数在点=处不可导，因为左、右 博一。-AX Ar0-AX导数不相等；(2)对函数/(%)=(%0月(%),lim/(+)-/()=nm 4r)=月(0,堤o+Ar Ar-o+Arlim/(+)0=1而/(+力=人(0,故函数在点=处可导，因为左、右导数 堤一。-AX Ar-0-AX相等。所属章节：第三章第二节难度：二级9.按定义证明：(1)可导的偶函数的导数是奇函数；(2)可导的奇函数的导数是偶函数；(3)可导的周期函数的导数仍是周期导数，且周期不变。解答：(1)设/(%)为可导的偶函数，则/(一%)=limAxlimAx即它的导数是奇函数;(2)设/(%)为可导的奇函数，则/(一%)=limAx1加一44rH人力加一。Ax=/(%)即它的导数是偶函数;(3)设/(%)为可导的周期函数，且周期为7,则/(%+为=lim-)J、-二 lim-)八/二 fx Arf 0 X Arf0 y 即它的导数是周期函数，且周期不变；所属章节：第三章第二节难度：二级10.设函数/(%)和0(%)在=0处可导，d(0)w0,且/(0)=0(0)=0,则a。(p(X)d(0)血!解答:/(%)-/(0)lim%)=lim-7%0(%)%-。0(%)0(0)xa%lim 0(%)一 0(。)a0%/(O)0(O)所属章节：第三章第二节 难度：二级11.设/(%)存在，试证：对常数a、0,有lim/(x+a)-/(x+M n/(%).力-0 h解答:lim=1向4%+之0-一4”)力fo h 力fo h=(。)/(力所属章节：第三章第二节 难度：一级12.(1)设函数/(%)对任意实数,夕均有/(%+?)=/(%)/(y)，且/(0)=1，试求/(%);(2)设函数/(%)对任意实数%,夕均有/(%+力=/(%)+/(+2以，且/(0)存在，试求/(%)。解答：(1)由于对任意实数”/均有/(%+力=/(%)/()，令“=夕=0,得/(0)=1或/(0)=0,令7=0,得/(%)=/(%)/(0)，如果/(0)=0,则/(%)三0,从而/(%)三0；如果/(0)=1,则由/(0)=1,r/(x+Ar)-/(x)r/(x)/(Ar)-/(x)/(x)/(Ar)-l、八、lim-二 lim -二 lim 八 八八-=f(x)/!(0)=fix)，4r0 Ar 4r。Ar 八力一。Ar 故/(%)=/(%)；综合知，/(%)=/(%)(2)由于对任意实数%,夕均有/(%+力=/(%)+/(力+29，令7=0,得/(。)=0，Mm/(%+)-/(%)=lim/(%)+/(Ar)+2%Ar-/(%)=由/()-/(。)+2必x=八0)+心一 Ar 4r。Ar 4r一 Ar 故/(%)=2%+/(0)所属章节：第三章第二节难度：三级13.设函数/(%)对任意%有/(I+%)=(%),且/(0)=试求/。解答：由于对任意力 有/(I+%)=(%),故/(I)=次0),/(1+Ar)=(Ax),/(1+Ar)-/(1)/(Ar)-，(0)lim-二 lim=ab心一0 Ar 4r。Ar 所以由导数定义/=所属章节：第三章第二节难度：三级14.在抛物线/=/上哪一点的切线(1)平行于直线夕=4%-5；(2)垂直于直线2%-6歹+5=0；(3)与直线3%-歹+1=0构成45角。解答：尸=2%(1)要使切线平行于直线夕=4%-5,则尸=4,故切点为(2,4)；(2)要使切线垂直于直线2%-6夕+5=0,则尸=-3,故切点为(3)要使切线与直线3%-歹+1=0构成450角，则y，=_2,g故切点为(-L所属章节：第三章第二节 难度：一级15.求曲线夕=cos%上点处的切线方程和法线方程。解答：y=-sinx,故切线斜率为p，(W)=sinW=-，法线斜率为芋，从而由点斜式方程得至U切线方程为立力+P一1(1+必以)=0；法线方程为38%p+1型兀=02 2 3 3 2 9所属章节：第三章第二节难度：一级16.求下列曲线在指