借助三角形外心 巧妙求解参数值--对一道向量题的探究.pdf

借助三角形外心巧妙求解参数值 对一道向量题的探究江苏省无锡市江阴长泾中学刘旭东平面向量同时兼备“数”的性质与“形”的特征,一直是历年高考数学试题中的热点题型之一而在平面向量中融入三角形的基本特征,设置创新新颖,内涵丰富多彩,破解思维多变,是数学知识、数学思想方法和数学能力交汇与融合的一大主阵地,具有很好的选拔性与区分度,倍受各方关注问题呈现问题 年第六届湖北省高三(月)调研模拟考试数学试卷 在A B C中,A B,A C,B C,点O为A B C的外心,若A OA BA C,则()ABCD此题以三边长确定的三角形为问题背景,结合三角形的外心,通过含参的平面向量的线性关系式的设置,来确定对应的两参数的和破解时,可以从平面向量角度、解三角形角度、坐标角度等切入,利用不同的方法来处理与求解问题破解方法:数量积转化法图解析:由 题 意 可 知|B C|(A CA B)A BA C A BA C A BA C,则A BA C 那么A BA OA B(A BA C)A BA BA C ;A CA OA C(A BA C)A BA CA C 如图,过外心O作O DA B,O EA C,垂足分别为D,E,则D,E分别为A B,A C的中点所以A BA OA BA Oc o sO A BA BAD;A CA OA CA Oc o s O A CA CA E 所以由 ,解得,于是 故选择答案:C点评:结合平面几何的图形特征,通过辅助线的构建,借助三角形外心的实质,综合平面向量的数量积以及直角三角形的定义加以转化,建立两参数的方程组,利用方程组的解来确定相应的参数值,进而求解两参数的和合理利用平面向量的线性关系,结合向量数量积公式的应用加以巧妙转化,这是破解此类平面向量计算问题的常见方法图方法:解三角形法解析:如图,延长A O交B C于点D根据余弦定理,可得c o s A B Cacba c由 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系式,得s i n A B Cc o sA B C根据正弦定理,得A Cs i nA B CO AO B,解得O AO B在O A B中,根据余弦定理,得c o s O A B由同角三角函数基本关系式,得s i n O A Bc o sO A B所以c o s AD Bc o s(A B DO A B)c o s(A B D O A B)年 月上半月 新颖试题命题考试所以O A BAD B,于是B DA B根据正弦定理,得ADs i nA B DB Ds i n O A B,解得AD所 以A OA OADADADAD(xA ByA C),其中xy又A OA BA C,所以xy故选择答案:C点评:结合三角形的几何背景,综合应用余弦定理与正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的内角和、诱导公式以及三角恒等变形公式等,通过平面向量中三点共线的性质及其定理加以合理转化,进而求解两参数的和合理利用解三角形与平面向量的综合知识,结合三角函数的相关知识加以巧妙转化,这是破解此类涉及三角形的平面向量问题的常见方法方法:余弦定理的向量表示法解析:由于A OA BA C,则有A BA OA B(A BA C)A BA BA C结合余弦定理的向量表示形式,由上式可得A BA OB OA BA BA CB C所以,整理可得 由于A OA BA C,则有A CA OA C(A BA C)A BA CA C结 合 余 弦 定 理 的 向 量 表 示 形 式,由 上 式 可 得A CA OC OA BA CB CA C所以,整理可得 由式相加,得(),即故选择答案:C点评:方法是在方法的基础上进一步优化而来,借助余弦定理的向量表示形式加以转化与应用,结合平面向量的数量积与余弦定理的应用来处理,合理转化,巧妙破解,进而得以求解两参数的和合理利用余弦定理,是对平面向量与解三角形知识的有效融合与应用,可以更好优化过程,提升解题效益变式拓展探究:保留问题的所有条件,改变设问方式,分别求解两参数的对应值,得到以下对应的变式问题变式在A B C中,A B,A C,B C,点O为A B C的 外 心,若A OA BA C,则,根据原来问题中方法的破解过程,可得,探究:保留三角形外心的背景,改变问题的相关条件,给出平面向量的线性关系式,求解对应角的余弦值,得到以下对应的变式问题变式在A B C中,点O为A B C的外心,若A O A B A C,则c o sA解析:由A O A B A C,可得A BA OA B A B A C A B A BA CA B整理,得|A B|A C|c o sA|A B|,即|A C|c o sA|A B|又A CA OA C A B A C A BA C A CA C整理,得|A B|c o sA|A C|A C|,即|A C|A B|c o sA 由式可得c o sA ,解得c o sA(负值舍去)故填答案:解后反思破解此类巧妙融合三角形与平面向量相关知识的数学问题,关键是正确把握其中“数”的性质与“形”的特征可以从“数”的性质入手,利用代数视角,通过代数运算或平面向量的运算等形式来解决;也可以从“形”的特征入手,利用几何直观,通过平面几何特征或图形直观等形式来处理;更高层次就是“数”与“形”的综合应用,两者协同合作,通过坐标运算等形式来破解等破解思维各异,方法多样 Z命题考试新颖试题 年 月上半月