006二倍角及半角的正弦余弦和正切.doc

第 6 课时 课题：二倍角及半角的正弦、余弦和正切

【教学目标】
（1）掌握三角比相关公式及其应用；
（2）掌握解决相关题型、题目.
【教学重难点】
理解并熟练掌握几种三角比相关公式及其应用；

【知识点归纳】
二倍角的正弦：
二倍角的余弦：
二倍角的正切：

【例题解析】
例1、用角的三角比表示下列各式：
（1） （2） （3）

例2、按要求计算：
(1)用表示 （2）用表示

二倍角的正弦、余弦、正切
例1、（公式巩固性练习）求值：
1．sin22°30’cos22°30’=
2．
3．
4．
例2、1．
2．
3．
4．
例3、若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值。

例4、条件甲：，条件乙：，那么甲是乙的什么条件？

例5、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。

二倍角公式的应用
例1、（板演或提问）化简下列各式：
1． 2．
3．2sin2157．5° - 1 =
4．
5．cos20°cos40°cos80° =

例2、求证：[sinq(1+sinq)+cosq(1+cosq)]×[sinq(1-sinq)+cosq(1-cosq)] = sin2q

例3、求函数的值域。

例4、求证：的值是与a无关的定值。

例5、化简：

例6、求证：

例7、利用三角公式化简：

续二倍角公式的应用，推导万能公式

一、半角公式
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例1、求证：

二、万能公式
例1、求证：

例2、已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。

补充：
1． 已知sina + sinb = 1，cosa + cosb = 0，试求cos2a + cos2b的值。

2． 已知，，tana =，tanb =，求2a + b 的大小。

3． 已知sinx =，且x是锐角，求的值。

4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1°
2°
3°

5．若a、b、g为锐角，求证：a + b + g =

6．求函数在上的最小值。

倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
例1、已知，，tana =，tanb =，求2a + b

例2、 已知sina - cosa = ，，求和tana的值

【拓展解析】

积化和差公式的推导
sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb Þ sinacosb =[sin(a + b) + sin(a - b)]
sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb Þ cosasinb =[sin(a + b) - sin(a - b)]
cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb Þ cosacosb =[cos(a + b) + cos(a - b)]
cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb Þ sinasinb = -[cos(a + b) - cos(a - b)]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）

例1、求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a

和差化积公式的推导
若令a + b = q，a - b = φ，则， 代入得：

∴

这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。
例1、已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值

综合训练题
1、函数的最小值。 （辅助角）

2、已知 （角变换）

3、计算：(1 +)tan15°- （公式逆用）

4、已知sin(45° - a) = ，且45° < a < 90°，求sina 。 （角变换）

5、已知q是三角形中的一个最小的内角，且，求a的取值范围。

6、试求函数的最大值和最小值，若呢？

7、已知tana = 3tan(a + b)，，求sin(2a + b)的值。

基础练习
1．已知，则 。
2． 。
3．已知，则 。
4．若，则 。
5．求证：。

6．已知，求的值。

7．若，则 。
8．若，则 。
9．已知，求。

10．已知，求的值。

半角的正弦、余弦和正切公式
应用举例
例1、用表示下列各式：
（1）； （2）； （3）。

例2、用表示下列各式：
（1）； （2）； （3）。

基础练习
1．已知，则 ； 。
2．若，则 。
3．计算 。
4．已知，则 。
5．若，则 （ ）
A． B． C． D．

【附加题】
（1）求证：

（2）求值：

（3）求证：

（4）化简：

（5）设，求的值？