异面直线成角求法.doc

求异面直线所成的角祁正红 求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。 例：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。 解法1：平移法 设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE/D1B，所以C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角C1OE中 所以异面直线所成的角为图1 解法2：补形法 在长方体ABCDA1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在BD1E中，BD1=3， 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图2 解法3：利用公式 设OA是平面的一条斜线，OB是OA在内的射影，OC是平面内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、1、2，则（注：在上述题设条件中，把平面内的OC换成平面内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为AOD，D1B与BD所成角为D1BD，设D1B与AC所成角为，。 所以 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图3 解法4：向量几何法： 设为空间一组基向量 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图4 解法5：向量代数法： 以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2）， 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图5 解法6：利用公式 定理：四面体ABCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足图6解：连结BC1、A1B在四面体中，异面直线A1C1与BD1所成的角是，易求得图7由定理得： 所以