异面直线成角求法.doc

求异面直线所成的角
祁正红

求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解法1：平移法
设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE//D1B，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中

所以异面直线所成的角为

图1
解法2：补形法
在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，，

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图2
解法3：利用公式
设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、1、2，则（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角为，，。

所以
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图3
解法4：向量几何法：
设为空间一组基向量

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图4
解法5：向量代数法：

以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为

图5
解法6：利用公式

定理：四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足

图6
解：连结BC1、A1B在四面体中，异面直线A1C1与BD1所成的角是，易求得

图7
由定理得：

所以