异面直线所成角测验.doc

1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：如图所示，连接B1C，

则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴A1D⊥BC1，∴A1D与BC1所成的角为90°．
故选：D．
考点：异面直线及其所成的角
2．已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设向量 ，则，，
。
考点：空间向量的集合运算及数量积运算。
3．正方体中，分别是,,,的中点，则直线与所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】
试题分析：由三角形中位线可知，所以异面直线所成角为，大小为60°
考点：异面直线所成角
4．在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：取中点，连结，则为异面直线所成角，设边长为2，
考点：异面直线所成角
5．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】
试题分析：连结，异面直线所成角为，设,在中

考点：异面直线所成角
6．点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为，
．
所以与所成的角就是，由题意可知：，
所以．
考点：异面直线的位置关系．
7．如图所示，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与 所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：以D为原点，分别以为轴的正半轴建立空间直角坐标系，由棱长为，则,所以,故，故选A.
考点：空间向量所成角的余弦值.
8．在正方体中，分别为中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：联结 、 则 即为所成的角。 为等边三角形，所以
考点：异面直线所成的角
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所的 θ角的取值范围是（ ）
P

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP与BA'所成的角θ
等于∠D'CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ＝
当P点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0.
选D
考点：空间几何体，异面直线所成角
10．如图，正方体，则下列四个命题：
①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；
③在直线上运动时，二面角的大小不变；
④是平面上到点D和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线
其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：①∵∥平面，∴∥上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，正确．②在直线上运动时，直线与平面所成角和直线与平面所成角不相等，所以不正确．③当在直线上运动时，的轨迹是平面，即二面角的大小不受影响，所以正确．④∵是平面上到点和距离相等的点，∴点的轨迹是一条与直线平行的直线，而，所以正确,故答案为：C .
考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 .
11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（ ）
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
试题分析：解：取的中点，连接，交于点，

则，且
四边形是平行四边形

就是异面直线与所成的角，
而
，，
．故选D．
考点：异面直线所成角

12．如图,直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长,则异面直线与的夹角大小等于

【答案】60°
【解析】
试题分析：由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得 由 知就是异面直线与的夹角,且 所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°．
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
13．如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，直线与平面相交于，且与内过点的三条直线所成的角相同，所以，直线在平面内的射影应是夹角的平分线，同时也应是夹角及的平分线，因此，直线在平面内的射影是点，即，而，所以，直线与所成的角为
考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.
14．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则和所成角大小为____________.
【答案】
【解析】
试题分析：由于，而，同理求
=, ，同理：，设和所成角大小为，则，.
考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角；
15．已知四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心，将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角的余弦值的最大值是___ _

【答案】.
【解析】
试题分析：当时，直线与直线所成角最小，对应的余弦值最大，即；
易知：,,.
考点：异面直线所成的角.
16．如图所示，为正方体，给出以下五个结论：

①平面；
②⊥平面；
③与底面所成角的正切值是；
④二面角的正切值是；
⑤过点且与异面直线 和 均成70°角的直线有2条．
其中，所有正确结论的序号为________．
【答案】①②④
【解析】
试题分析：如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，
由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确．
由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．
同理可得 B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确．
AC1与底面ABCD所成角的正切值为，故③不正确．
取B1D1 的中点M，则∠CMC1 即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=，故④正确．

如下图，由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，过A1 作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1 在面α上方作射线A1H，
则满足与MN、PQ 成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，
满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．

故答案为 ①②④．
考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.
17．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点。设GF，C1E与AB所成的分别为，则

【答案】
【解析】
试题分析：取正方形B1C1CB的中点为点O，连结取的中点为点，连结 ，通过分析可知
得平面平面设正方形边长为2，在中，，，则在中，，则
所以。
考点：直线与平面所成角，面面平行问题。
18．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是

【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．∴=（0，﹣1，1），=（2，0，2）．∴．∴异面直线EF和BC1的夹角为．故答案为:．

考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．
19．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________．

【答案】
【解析】
试题分析：由于∥，所以（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在中，，，，．
考点：异面直线所成的角．
20． 在正三棱柱中，各棱长均相等，的交点为，则与平面所成角的大小是_______．
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示取BC中点E，连接AE，DE，

易得与平面所成角为，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC，边上的中线，，直角三角形中
考点：直线与平面所成的角.
21．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________．

【答案】
【解析】
试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于）本题中我们就可以把向下平移到过点（实际作图时，是延长到，使，则有，然后在中求出，就可得出题中要求的角．
考点：异面直线所成的角．
22．四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA
所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.

考点：1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角
23．如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为 .

【答案】
【解析】
试题分析：过做，过做，连接，
在三角形中，， 即为异面直线与所成角.
设正方形的边长为2，则在中，，
∴，故答案为.
考点：异面直线所成的角的计算

【答案】
【解析】如图，由是异面直线与所成角，连结，
则平面中

设正方体的边长为2，则

25．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_____________
A
B
D
C

【答案】
【解析】与是正方形的边，则，，
因为和是正三角形的两边，则与所成的角为．
26．如图，在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，已知B1E1=D1F1=则BE1与DF1所成的角的余弦值为 .

【答案】
【解析】略
27．
图2是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中的成角的大小是_______。
【答案】60度
【解析】
28．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在A上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是 .
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
x
y
M
P

【答案】
【解析】【思路分析】过P点作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连PH，利用三垂线定理可证PH⊥A1D1. 设P（x，y），
∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x2 +1- [(x)2+y2] =1，化简得.
【命题分析】以空间图形为载体，考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法.

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