平面向量及坐标表示.doc

授课主题
平面向量的基本定理及坐标表示
教学目的
1、了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
教学重点
1．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件

教学内容

1．平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝__________，其中，__________叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．
2．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，把有序数对__________叫做向量a的坐标，记作a＝____，其中__________叫做a在x轴上的坐标，__________叫做a在y轴上的坐标，显然0＝(0,0)，i＝(1,0)，j＝(0,1)．
(2)设＝xi＋yj，则__________就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．
3．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
向量
a
b
a＋b
a－b
λa
坐标
(x1，y1)
(x2，y2)
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__________，即一个向量的坐标等于__________．
(3)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
其中b≠0，则a与b共线⇔a＝__________⇔__________.

1．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是(　　)．
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(3,4) D．(－3，－4)
2．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为(　　)．
A．x轴
B．第一、三象限的角平分线
C．y轴
D．第二、四象限的角平分线
3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于(　　)．
A．5 B．10 C． D．15
4．e1，e2是平面内一组基底，那么(　　)．
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

一、平面向量基本定理
【例1】已知梯形ABCD，如图所示，2＝，M，N分别为AD，BC的中点．设＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，，.

变式练习
1、(2012大纲全国高考)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)．
A．a－b B．a－b
C．a－b D．a－b
2、　(1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则向量在上的投影为 (　　)
A. B．3 C．－ D．－3
答案　(1)　(2)A
解析　(1)如图，＝＋＝＋＝＋(－)
＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.
(2)由＋＋＝0，
得＋＝.
又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，
∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.
由||＝||＝2，
知△AOC为等边三角形．
故在上的投影为||cos∠ACB＝2cos ＝.
二、平面向量的坐标运算
【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

变式练习
在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)．
A．(－6,21) B．(－2,7)
C．(6，－21) D．(2，－7)

三、平面向量共线的坐标表示
【例3－1】已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)．
A． B． C．1 D．2

【例3－2】已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

方法提炼
向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
提醒：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．
变式练习
1、设a＝，b＝，且a∥b，则锐角x等于(　　)．
A． B． C． D．
2、已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是__________．

四、平面向量基本定理的应用

例 如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于P.设存在λ和μ使＝λ，＝μ，＝a，＝b.
(1) 求λ及μ；
(2) 用a、b表示；
(3) 求△PAC的面积．
解：(1) 由于＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.
＝λ＝λ，＝μ＝μ，
＝＋＝＋，即a＋μ(a＋b)＝λ.
　解得λ＝，μ＝.
(2) ＝＋＝－a＋＝－a＋b.
(3) 设△ABC、△PAB、△PBC的高分别为h、h1、h2，
h1∶h＝||∶||＝μ＝，S△PAB＝S△ABC＝8.
h2∶h＝||∶||＝1－λ＝，S△PBC＝S△ABC＝2，
∴ S△PAC＝4.

如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
答案：
解析：由B、H、C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x).
又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.

1、已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2、如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，
与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
答案　(1)B　(2)6
解析　(1)∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.
(2)方法一　如图，＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4，
∴＝4＋2.
∴λ＋μ＝6.
3、设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝(　　)
A．(6,3)　　　　　　　　 B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．
答案：B
4、已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)．
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析　由题意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．
答案　C
5、已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)．
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析　由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案　C
6、 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
解析 设P(x，y)，则由||＝2||，得＝2或＝－2，＝(2,2)，＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，
P(1，－1)．
答案　C
7、若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
8、设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
解析　设a＝λb(λ＜0)，则|a|＝|λ||b|，
∴|λ|＝，
又|b|＝，|a|＝2.
∴|λ|＝2，∴λ＝－2.
∴a＝λb＝－2(2,1)＝(－4，－2)．
答案　(－4，－2)
9、设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析　由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得所以
10、在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析　由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．
答案　(0，－2)
11．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A、B、C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
12．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析　(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，则
∴－＜t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则＝，∵无解．所以四边形OABP不能成为平行四边形
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2　不共线的向量e1，e2
2．(1)(x，y)　(x，y)　x　y
(2)向量的坐标
3．(2)(x2－x1，y2－y1)　终点的坐标减去起点的坐标
(3)λb　x1y2－x2y1＝0
基础自测
1．D　解析：∵2b－a＝2×(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)，
故2b－a＝(－3，－4)．
2．A　解析：a＋b＝(1，－m)＋(m2，m)＝(m2＋1,0)．其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a＋b所在的直线可能为x轴．
3．B　解析：∵a∥b，
∴4y－40＝0，得y＝10.
4．A　解析：对于A，∵e1，e2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；
对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；
C中，λ1e1＋λ2e2一定与e1，e2共面；
D中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．
考点探究突破
【例1】解：∵2＝，∴2＝e2，
∴＝e2.
又∵＝＋＋，
∴＝－e2＋e1＋e2＝e1－e2.
又由＝＋＋，得＝＋＋＝－e1＋e2＋(e1－e2)＝e2.
【例2】解：由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
【例3－1】B　解析：∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，
∴a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．
又∵(a＋λb)∥c，
∴＝，解得λ＝.
【例3－2】解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)．
∴解得m＝.
演练巩固提升
1．D　解析：∵a·b＝0，∴a⊥b.

又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴||＝，
∴||＝＝.
∴||＝＝.
∴＝＝＝(a－b)＝a－b.
2．A　解析：如图，＝＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，
＝3＝(－6,21)．

3．B　解析：∵a＝，b＝，且a∥b，
∴sin xcos x－×＝0，
即sin 2x－＝0.∴sin 2x＝1.
又∵x为锐角，∴2x＝，x＝.
4．{m|m≠－3}　解析：要使c＝λa＋μb成立，
则只需a与b不共线即可，
∴只需满足≠，
即3m≠2m－3，∴m≠－3.

12 / 12