平面向量及坐标表示.doc

授课主题平面向量的基本定理及坐标表示教学目的1、了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示教学重点1会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2理解用坐标表示的平面向量共线的条件教学内容1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_，其中，_叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e22平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，把有序数对_叫做向量a的坐标，记作a_，其中_叫做a在x轴上的坐标，_叫做a在y轴上的坐标，显然0(0,0)，i(1,0)，j(0,1)(2)设xiyj，则_就是终点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)3平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量abababa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，即一个向量的坐标等于_(3)平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线a_.1若a(3,2)，b(0，1)，则2ba的坐标是()A(3，4) B(3,4)C(3,4) D(3，4)2已知向量a(1，m)，b(m2，m)，则向量ab所在的直线可能为()Ax轴B第一、三象限的角平分线Cy轴D第二、四象限的角平分线3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C D154e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对一、平面向量基本定理【例1】已知梯形ABCD，如图所示，2，M，N分别为AD，BC的中点设e1，e2，试用e1，e2表示，.变式练习1、(2012大纲全国高考)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()Aab BabCab Dab2、(1)(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_(2)ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，0且|，则向量在上的投影为 ()A. B3 C D3答案(1)(2)A解析(1)如图，()，则1，2，12.(2)由0，得.又O为ABC外接圆的圆心，OBOC，四边形ABOC为菱形，AOBC.由|2，知AOC为等边三角形故在上的投影为|cosACB2cos .二、平面向量的坐标运算【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n.变式练习在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)三、平面向量共线的坐标表示【例31】已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A B C1 D2【例32】已知a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解提醒：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为：x1x2y1y20，x1y1x2y20等变式练习1、设a，b，且ab，则锐角x等于()A B C D2、已知直角坐标平面内的两个向量a(1,3)，b(m,2m3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab，则m的取值范围是_四、平面向量基本定理的应用例 如图，已知ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且ADDBBEEC21，AE与CD交于P.设存在和使，a，b.(1) 求及；(2) 用a、b表示；(3) 求PAC的面积解：(1) 由于a，b，则ab，ab.，即a(ab).解得，.(2) aab.(3) 设ABC、PAB、PBC的高分别为h、h1、h2，h1h|，SPABSABC8.h2h|1，SPBCSABC2， SPAC4.如图所示，在ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若，则_答案：解析：由B、H、C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x).又，所以x(1x).1、已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为()A2 B3 C4 D52、如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_答案(1)B(2)6解析(1)0，点M是ABC的重心3，m3.(2)方法一如图，11，|1|2，|1|4，42.6.3、设平面向量a(1,0)，b(0,2)，则2a3b()A(6,3) B(2，6)C(2,1) D(7,2)解析：2a3b(2,0)(0,6)(2，6)答案：B4、已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得ab(xx,1x2)(0,1x2)，易知ab平行于y轴答案C5、已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)答案C6、 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|2|，则点P的坐标为()A(3,1) B(1，1)C(3,1)或(1，1) D无数多个解析 设P(x，y)，则由|2|，得2或2，(2,2)，(x2，y)，即(2,2)2(x2，y)，x3，y1，P(3,1)，或(2,2)2(x2，y)，x1，y1，P(1，1)答案C7、若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.8、设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析设ab(0)，则|a|b|，|，又|b|，|a|2.|2，2.ab2(2,1)(4，2)答案(4，2)9、设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析由题意，设e1e2manb.又因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以10、在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为_解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形设D(x，y)，则有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)答案(0，2)11已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解析：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A、B、C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得点C的坐标为(5，3)12已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解析(1)t(13t,23t)若P在x轴上，则23t0，t；若P在y轴上，只需13t0，t；若P在第二象限，则t.(2)因为(1,2)，(33t,33t)若OABP为平行四边形，则，无解所以四边形OABP不能成为平行四边形参考答案基础梳理自测知识梳理1不共线有且只有1e12e2不共线的向量e1，e22(1)(x，y)(x，y)xy(2)向量的坐标3(2)(x2x1，y2y1)终点的坐标减去起点的坐标(3)bx1y2x2y10基础自测1D解析：2ba2(0，1)(3,2)(0，2)(3,2)(3，4)，故2ba(3，4)2A解析：ab(1，m)(m2，m)(m21,0)其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量ab所在的直线可能为x轴3B解析：ab，4y400，得y10.4A解析：对于A，e1，e2不共线，故120正确；对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；C中，1e12e2一定与e1，e2共面；D中，根据平面向量基本定理，1，2应是唯一一对考点探究突破【例1】解：2，2e2，e2.又，e2e1e2e1e2.又由，得e1e2(e1e2)e2.【例2】解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得【例31】B解析：a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，ab(1,2)(，0)(1，2)又(ab)c，解得.【例32】解：(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)A，B，C三点共线，存在实数，使，即2a3b(amb)解得m.演练巩固提升1D解析：ab0，ab.又|a|1，|b|2，|，|.|.(ab)ab.2A解析：如图，(1,5)(4,3)(3,2)，(1,5)(3,2)(2,7)，3(6,21)3B解析：a，b，且ab，sin xcos x0，即sin 2x0.sin 2x1.又x为锐角，2x，x.4m|m3解析：要使cab成立，则只需a与b不共线即可，只需满足，即3m2m3，m3.12 / 12