异面直线所成的角求法-总结加分析.doc

异面直线所成的角
一、平移法：
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法
1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。

2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．
答案：45°

B
M
A
N
C
S
3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝
∴COS∠QNB＝

4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．

解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝BM＝，
cos∠GNA＝。

5．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．求与所成的角。

证明：取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。

B¢
(图1－28)
A¢
A
B
C¢
D¢
C
D
F
E

6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点
 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
 (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
 (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；
 (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值
解：(1)
∵ A¢Ï平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BÏCC′,
 ∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线
 (2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角
∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°
 (3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角
在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是
 (4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝(∥)A¢B¢＝(∥)AB,
 ∴ ABFE是平行四边形，从而BF＝(∥)AE, 即BF∥AE且BF=AE.
 ∴ BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角
A¢
B
F
M
(图1－29)

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为
A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：
cos∠A′BF＝

7. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，
∠DB1E= ∴∠DB1E=。

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，
∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。

练习：
8. 如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

9. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值.

中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE= ∴∠BOE=

解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为。

解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。

课堂练习
10. 在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。

补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。
解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，∠C1BD2=－，∴异面直线DB1与BC1所成的角是。

课堂练习：
11. 求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3， 

二、利用模型求异面直线所成的角
模型1 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。
在平面a的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B
连接OB，则OB⊥b.
在直角△AOP中，.
在直角△ABC中，.
在直角△ABP中，.
所以
所以
P
b
A
B
O
α
证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，
OB//b，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，
过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。
可知PB⊥AB。所以cosθ1=， cosθ=，cosθ2=。
所以cosθ= cosθ1·cosθ2。

利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。
需：过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。
12. 如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。
A
B
C
D
M

解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，
直线MB与平面ABCD所成的角为45°，
直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°，
所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足
cosθ=cos45°· cos45°=，所以直线AC与MB所成的角为60°。

13. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）
（A） （B） （C） (D)

解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D
P
E
D
F
A
B
C
14. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。
解：过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°，
射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°· cos45°=，所以其大小为arccos。

模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为q，则有

证明： 

所以有：
15. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。

 解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得 
由定理得：

所以 

二、向量法求异面直线所成的角
16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
B
A
C
D
F
E
B1
A1
D1
C1
G
H
S
R
P
Q
作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，
连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，
分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。
由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。
在△GHS中，设正方体边长为a。
GH=a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，
连QH，可知△GQH为直角三角形），
HS=a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），GS=a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。∴Cos∠GHS=。
B
A
C
D
F
E
B1
A1
D1
C1
所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。
解法二：（向量法）
分析：因为给出的立体图形是一个正方体，
所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用
点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用
向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。
则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），
点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；
所以向量的坐标为（-1，2，1），向量的坐标为（2，1，-1），
所以这两个向量的夹角θ满足
cosθ===-。
所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为

A
B
C
D
M
N
17. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。（平移法也可）
解：由已知得，空间向量，，不共面，
且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到
=（+），=+
所以向量与向量的夹角θ（即角α或者α的补角）
满足cosθ=，其中
·=（+）·（+）
=（·+·+（）·+·）
=a2（++1）=a2；
||2=（+）·（+）=（1+1+1）a2= a2；
||2=（+）·（+）=+1 a2= a2。所以cosα=| cosθ|=。
A
B
C
D
E
F
G
18. 已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成的角的大小。
解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，
可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。
由向量的知识可知=+=+，
设向量和的夹角为θ。
则由||2=（+）·（+）=4+1+4cosθ=7，
得cosθ=，所以AB和CD所成的角为60°。
19. （思考题）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.
求：(1)AC1的长； (2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

∴BD1与AC所成角的余弦值为.

判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；
选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；（7）答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；
三．，取AD中点E，则∠MEN＝90°；
四．，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝AD＝5，BF＝AC＝3；
五．，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则MP＝a；
六．，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．

异面直线所成的角---作业
班级： 姓名： 学号：
一、判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形；
 (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行；
 (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面；
 (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；
 (9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；
 (11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面
二、选择题
1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )
 (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定
2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )
 (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交
3. 两条异面直线指的是( )
 (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线
4. a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )
 (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面
5. 说出正方体中各对线段的位置关系：
(1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1；
 (4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.

6. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )

7. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )


8. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC
 (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直
9. 设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
 ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；
④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，
在上述四个命题中，真命题的个数是( )
 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0
10. 如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线
 (A)不一定存在 (B)总共只有一条
 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条

F
A
B
C
E
S
(第11题)
11. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

A
B
C
D
M
(第三题)
N
4
3
三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值

A
B
C
D
(第四题)
E
6
6
8
四．如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值


(第五题)
M
A
B
C
N
C1
A1
B1
五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点。求MN与CC1所成角的余弦值。


8
A
B
C
D
E
(第六题)
7
8
5
4
4
5
六．如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，求BE与CD所成角的余弦值。