异面直线所成的角求法总结加分析.pdf

(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)的全部内容。(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法:直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法找两异面直线所成的角也是常用的方法之一.直接平移法直接平移法1在空间四边形 ABCD 中,ADBC2，E，F 分别为 AB、CD 的中点,EF3，求 AD、BC所成角的大小解：解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在EFG 中 EF3 FGEG1EGF120 AD 与 BC 成 60的角。2 正ABC 的边长为 a,S 为ABC 所在平面外的一点，SASBSCa，E，F 分别是 SC和 AB 的中点求异面直线 SA 和 EF 所成角答案:453 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SASBSC,且ASBBSCCSA2，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值证明：证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QNSMQNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ，设 SCa，在BQN 中BNa25 NQ21SM42a BQa414COSQNB5102222NQBNBQNQBN4如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点，若 BCCACC1，求 BM 与 AN 所成的角解：解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG，易证GNA 就是 BM 与 AN 所成的角设：BCCACC12，则 AGAN5，GNBM6,BMANCS(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)ABCDA1B1C1D1EFcosGNA1030562556。5如图，在正方体1111DCBAABCD 中，E、F 分别是1BB、CD 的中点求AE与FD1所成的角.证明证明：取 AB 中点 G，连结 A1G，FG，因为 F 是 CD 的中点，所以 GFAD,又 A1D1AD，所以 GFA1D1，故四边形 GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设 A1G 与 AE 相交于 H，则A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。因为 E 是 BB1的中点，所以 RtA1AGABE,GA1A=GAH，从而A1HA=90,即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角.6如图 128 的正方体中,E 是 AD的中点 （1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA成异面直线?（2）求直线 BA和 CC所成的角的大小；（3）求直线 AE 和 CC所成的角的正切值;(4)求直线 AE 和 BA所成的角的余弦值解解：（1)A平面 BC,又点 B 和直线 CC都在平面 BC内，且 BCC，直线 BA与 CC是异面直线 同理，正方体 12 条棱中的 CD、DD、DC、AD、BC所在的直线都和直线 BA成异面直线 (2）CCBB，BA和 BB所成的锐角就是 BA和 CC所成的角 ABB=45 BA和 CC所成的角是 45 (3)AABBCC,故 AE 和 AA所成的锐角AAE 是 AE 和 CC所成的角在 RtAAE 中，tanAAE，所以 AE 和 CC所成角的正切值是 A EAA2121 （4)取 BC的中点 F，连 EF、BF，则有 EFABAB，ABFE 是平行四边形，从而 BFAE，即 BFAE 且 BF=AE.BF 与 BA所成的锐角ABF 就是 AE 和 BA所成的角设正方体各棱长为 2，连 AF，利用勾股定理求出ABF 的各边长分别为AB2，AFBF，由余弦定理得:25cosABF5105222)5()5()22(222ABFM(图 129)55B(图 128)AABCDCDFE(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)7。7。长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的大小。解法一：解法一：如图，过 B1点作 B1EBC1交 CB 的延长线于 E 点.则DB1E 或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成角，连结 DE 交 AB 于 M，DE=2DM=3，5DB1E=DB1E=.cos7 34170cosarc7 34170解法二：解法二：如图，在平面 D1DBB1中过 B 点作 BEDB1交 D1B1的延长线于 E，则C1BE就是异面直线 DB1与 BC1所成的角，连结 C1E，在B1C1E 中，C1B1E=135，C1E=3，C1BE=，C1BE=。5cos7 34170cosarc7 34170练习：8。如图，PA矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=10,求 AD 与 PC 所成角的余切值为。(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)9.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,若棱 B B1=BC=1，AB=，求 D B 和 AC 所成角的余弦值.3中位线平移法：中位线平移法：构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之.解法一:解法一:如图连结 B1C 交 BC1于 0，过 0 点作 OEDB1,则BOE 为所求的异面直线 DB1与 BC1所成的角.连结 EB,由已知有 B1D=，BC1=5，BE=，BOE=343 52cos7 34170BOE=cosarc7 34170解法二：解法二：如图，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OEDB1，过 E 点作 EFC1B，则OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过 O 点作 OMDC，连结 MF、OF.则 OF=，732OEF=，异面直线 B1D 与 BC1所成的角为。cos7 34170cosarc7 34170解法三：解法三：如图，连结 D1B 交 DB1于 O，连结 D1A，则四边形 ABC1D1为平行四边形。在平行四边形 ABC1D1中过点 O 作 EFBC1交 AB、D1C1于 E、F，则DOF 或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成的角。在ADF 中 DF=，DOF=，DOF=3 52cos7 34170。cosarc7 34170课堂练习10.在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值.(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)补形平移法:补形平移法:在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：解法一：如图，以四边形 ABCD 为上底补接一个高为 4 的长方体 ABCDA2B2C2D2，连结 D2B，则 DB1D2B，C1BD2或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成的角，连 C1D2，则C1D2C2为 Rt,C1BD2=,异面直线 DB1与 BC1所成的角是cos7 34170。cosarc7 34170课堂练习：11.求异面直线 A1C1与 BD1所成的角的余弦值。在长方体 ABCD-A1B1C1D1的面 BC1上补上一个同样大小的长方体，将 A1C1平移到 BE,则D1BE 或其补角就是异面直线 A1C1与 BD1所成的角，在BD1E 中,BD1=3，二、利用模型求异面直线所成的角二、利用模型求异面直线所成的角模型 1 引理：已知平面 的一条斜线 a 与平面 所成的角为 模型 1 引理：已知平面 的一条斜线 a 与平面 所成的角为 1 1，平面 内的一，平面 内的一EDBCA(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)条直线 b 与斜线 a 所成的角为，与它的射影 a所成的角为 条直线 b 与斜线 a 所成的角为，与它的射影 a所成的角为 2 2.求证：cos=cos.求证：cos=cos1 1coscos2 2。在平面的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB,垂足为 O、B连接 OB，则 OBb.在直角AOP 中，.APAO1cos在直角ABC 中，。AOAB2cos在直角ABP 中，.APABcos所以 coscoscos21APABAOABAPAO所以coscoscos21证明:设 PA 是 的斜线，OA 是 PA 在 上的射影，OB/b，如图所示。则PAO=1，PAB=，OAB=2，过点 O 在平面 内作 OBAB，垂足为 B，连结 PB。可知 PBAB.所以 cos1=，cos=，cos2=。PAOAPAABOAAB所以 cos=cos1cos2。利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角。需：过 a 的一个平面，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 内的射影。12.如图，MA平面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线 MB 与 AC所成的角。解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB，直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45，直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45，所以直线 AC 与直 MB 所成的角为,满足cos=cos45 cos45=，所以直线 AC 与 MB 所成的角为 60。2113.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为111ABCABC1AABCBC的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（AB1CCD）PbABOBCBCA111ADABCDM(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)（A)(B）(C）（D）34547434解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角，BC1A1A AB AB1CC由三角余弦定理，易知。故选 D 113cocs4oscosAD ADA ADDABA A AB14.如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a,且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30角，AEPD于 D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。解:过 E 作 AD 的平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF，直线 AE 与平面ABCD 所成的角为DAE，其大小为 60，射影 AF 与直线 CD 所成的角为CDA，其大小为 45，所以直线与直线所成的角 满足 cos=cos60 cos45=42，所以其大小为 arccos。42模型 2 定理：四面体 ADBCD 两相对棱 AC、BD 间的夹角为，则有证明：CADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB而2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB所以有：15.长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线 A1C1与 BD1所成的角。解：连结 BC1、A1B 在四面体为，易求得 PEDFABC(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)由定理得:所以 二、向量法求异面直线所成的角二、向量法求异面直线所成的角16.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1及 CDD1C1的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法:连结 B1E,取 B1E 中点 G 及 A1B1中点 H，连结 GH,有 GH/A1E.过 F 作 CD 的平行线 RS，分别交 CC1、DD1于点 R、S,连结 SH，连结 GS.由 B1H/C1D1/FS,B1H=FS，可得 B1F/SH。在GHS 中，设正方体边长为 a.GH=a（作直线 GQ/BC 交 BB1于点 Q，46连 QH,可知GQH 为直角三角形)，HS=a(连A1S，可知HA1S为直角三角形)，GS=a（作直线GP交BC于点P,连PD，26426可知四边形 GPDS 为直角梯形）。CosGHS=。61所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为。61解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体,所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以 B 为原点,BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1为 z 轴，设 BC 长度为 2。则点 A1的坐标为(0,2，2），点 E 的坐标为（1，0，1），点 B1的坐标为(0，0，2），点 F 的坐标为（2，1，1）；BACDFEB1A1D1C1GHSRPQBACDFEB1A1D1C1(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)所以向量的坐标为（1，2，1）,向量的坐标为（2，1，-1）,1EAFB1所以这两个向量的夹角 满足cos=。|1111FBEAFBEA222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(61所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为6117.已知空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N 分别为 BC 和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为，求 cos 的值。(平移法也可）解：由已知得,空间向量，不共面，ABACAD且两两之间的夹角均为 60。由向量的加法可以得到=(+),=+AM21ABACNC21ADAC所以向量与向量的夹角（即角 或者 的补角）AMNC满足 cos=，其中|NCAMNCAM=(+）（+）AMNC21ABAC21ADAC=（+()+）2121ABADABAC21ADACACAC=a2（+1)=a2；21412141212=(+）（+)=(1+1+1）a2=a2；AM21ABAC21ABAC4143|2=（+）（+）=+1 a2=a2.所以 cos=cos=NC21ADAC21ADAC412143.3218.已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点,且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=,求 AB 和 CD 所成的角的大小。7解：取 AC 上点 G,使 AG：GC=1：2。连结 EG、FG，可知 EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知识可知=+=+，EFEGGFBA32CD31设向量和的夹角为.BACD则由|2=(+)（+）=4+1+4cos=7,EFBA32CD31BA32CD31得 cos=,所以 AB 和 CD 所成的角为 60。21ABCDMNABCDEFG(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)19.（思考题）如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120。求:（1)AC1的长；（2）直线BD1与AC所成的角的余弦值。技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222|)(|)(,2|,)2(.22|,22|,0,21120cos,21120cos90,120,|,|:|222|)()(|)1(:baABAAADABADAAABADAAABADAAABADAABDBDBDabADABABADADABAAADAAABABADAAADABBDACABADAABAADBDADABACaACabbaACabbaACADABababADAAababABAAADABADAAABAAaADABbAAADABADAAABAAADABAAADABAAADABAAACAAACAAACACAC依题意得由已知得解 2212|baBD2211124|,cosbabACBDACBDACBDBD1与AC所成角的余弦值为。2224bab判断是非：（1)（3)（8）（10)（1)（3)（8）（10)正确，其余错；选择：1 1(C）；2 2（D）；3 3(D)；4 4（D）5（2)5（2)相交，（5)（5)平行，其余异面；(6）：(D），取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；（7）答案:(A)，延长B1A1至M,使A1MA1D1，连 MA，取 AB 中点 N8 8（D）；9 9(E）；1010(D)；1111(C）；三三,取 AD 中点 E，则MEN90；34四四，取 AC 中点 F,连 EF、BF，求得 BE AD5，BF AC3;5721212(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)五五，分别取 AC、B1C1的中点 P、Q，则 PMQN 是矩形，设 CC1MQa,则 MP a;55221六六，取 AC 中点 F，连 EF、BF，则 EF4，BEBF361异面直线所成的角-作业班级：姓名:学号：一、判断是非(下列命题中,正确的打“”，错误的打“”)（1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形;（3）平行于同一直线的两直线平行；(4）垂直于同一直线的两直线平行；（5）两条直线确定一个平面;（6）经过三点可以确定一个平面；（7）无公共点的两直线异面；（8)两异面直线无公共点；(9）两异面直线可以同时平行于一直线;（10）两异面直线可以同时垂直于一直线；（11)不同在一个已知平面内的两直线异面;（12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1。没有公共点的两条直线的位置关系是（）（A）平行 (B)异面 (C)平行或异面 （D)不能确定2。分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）(A）异面 （B)平行 (C）平行或异面 （D）平行或异面或相交(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)3.两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线（B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C）分别位于两个不同平面的两条直线 （D)不同在任一平面内的两条直线4。a、b 是异面直线，b、c 也是异面直线,那么 a、c 的位置是(）（A)异面 (B)异面或平行 （C）异面或相交 （D）相交、平行或异面5。说出正方体中各对线段的位置关系：（1）AB和CC1；（2)A1C和BD1;(3)A1A和CB1；(4）A1C1和 CB1；(5)A1B1和 DC；（6)BD1和 DC。6.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 和 N 分别为A1B1和BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（)31032()()()()21055ABCD7.如图，A1B1C1-ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90，点D1、F1 分别是 A1B1、A1C1的中点若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是(）3013015()()()()1021510ABCD8。正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与 AC(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)（A）相交且垂直 （B)相交但不垂直 （C）异面且垂直 （D）异面但不垂直9.设 a、b、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：如果 ab、bc，则 ac;如果 a 和 b 相交，b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交；如果 a、b 是异面直线,c、b 是异面直线，则 a、c 也是异面直线；如果 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面,在上述四个命题中，真命题的个数是（)(A）4 (B）3 （C）2 (D）1 （E）010.如果直线l和 n 是异面直线，那么和直线l、n 都垂直的直线 （A)不一定存在 （B）总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条11。如图，四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于（A)90 （B)60 (C)45 (D）30三如图，四面体 ABCD 中，ACBD，且 AC4，BD3，M、N 分别是 AB、CD 的中点，求 MN 和 BD 所成角的正切值四如图,四面体 ABCD 中，ABBC，ABBD，BCCD，且 ABBC6,BD8，E 是 ADFABCES(第11 题)ABCDM(第三题)N43ABCD(第四题)E668(完整 word 版)异面直线所成的角求法-总结加分析(word 版可编辑修改)中点，求 BE 与 CD 所成角的余弦值 五如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体,M、N 分别是 BC 和 A1C1的中点.求 MN 与 CC1所成角的余弦值。六如图，四面体 ABCD 中，E 为 AD 中点，若 ACCDDA8,ABBD5，BC7，求 BE 与 CD 所成角的余弦值。(第五题)MABCNC1A1B18ABCDE(第六题)785445