利用隔板法巧解排列组合问题四个方面.doc

利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）
隔板法就是在个元素间，插入个板，把个元素分成组的方法。
一、放球问题。
例、把个相同的球放入个不同的盒子，有多少种不同的放法？
解析：取块相同隔板，连同个相同的小球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，共有种排法。所以，把个相同的球放入个不同的盒子，有种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少。
二、指标分配问题。
例、某校召开学生会议，要将个学生代表名额，分配到某年级的个班中，若每班至少个名额，有多少种不同分法？
解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把相同的名额分配到个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：个班每班先分配个名额，只有种分法；第二步：将剩下的个名额分配给个班。取块相同隔板，连同个相同名额排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。由分步计数原理知：个学生代表名额，分配到某年级的个班中，每班至少个名额，共有种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求项展开式的项数。
例、求展开式中共有多少项？
解析：用个相同的小球代表幂指数, 用个标有、、、的个不同的盒子表示数、、、，将个相同的小球放入个不同的盒子中，把标有的每个盒子得到的小球数，记作的次方。这样，将个相同的小球放入个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取块相同隔板，连同个相同的小球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。故的展开式中共有项。
四、求元一次方程组的非负整数解。
例、求方程的正整数解的个数。
解析：用个相同的小球代表数, 用个标有、、、的个不同的盒子表示均不能为的正整数未知数、、、。要得到方程的正整数解的个数，分两步。第一步：个盒子每个盒子先分配个小球，只有种分法；第二步：将剩下的个小球分配给个盒子。取块相同隔板，连同个相同小球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。由分步计数原理知：共有种放法。我们把标有的每个盒子得到的小球数，记作：。这样，将个相同的小球放入个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程的每一组解。所以，方程的正整数解共有个。
例例点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程的非负（或正）整数解的个数的理论依据。