基本不等式导学案.doc

不等式导学案教学目标：（1）学会推导不等式，理解不等式的几何意义。 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题教学重点：基本不等式的推导及应用。教学难点：理解“当且仅当时取等号” 的意义。教学过程： 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？ 设小直角三角形的两条直角边为，则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。 四个直角三角形的面积和为 。 。思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , () 概念: 一般的,对于任意的实数,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果 ,我们用分别代替,可得 。我们通常把上式写成()第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?证明过程: 要证 只需证 (同时平方) 要证只需证 0 (右边的项移到左侧) 要证只需证 显然成立.当且仅当时,等号成立. ,概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数, 且, 是的 ，叫做的算术平均数， 是叫做的 ，叫做的几何平均数， 由基本不等式可得：的等差中项 的等比中项（），特别的，当时，的等差中项等于的等比中项。 习题一：若，则 若，则 习题二：（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的总长度表示为 ， 由 可得 ，当等号成立时，所用篱笆最短，此时 （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的面积表示为 ，由可得 ，当等号成立时，面积最大，此时总结：两个实数 若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为。则 2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 概念回顾：基本不等式 ，其中（）特别的，当 时等号成立。 的算术平均数是 ， 的几何平均数是 。