基本不等式导学案.doc

不等式导学案
教学目标：（1）学会推导不等式，理解不等式的几何意义。
（2）知道算术平均数、几何平均数的概念
（3）会用不等式求一些简单的最值问题
教学重点：基本不等式的推导及应用。
教学难点：理解“当且仅当时取等号” 的意义。
教学过程：
如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？
设小直角三角形的两条直角边为，
则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。
< 。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , ()
概念: 一般的,对于任意的实数,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.
特别的,如果 ,我们用分别代替,可得 。我们通常把上式写成()
第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?
证明过程: 要证 ①
只需证 ② (同时平方)
要证②只需证 0 ③ (右边的项移到左侧)
要证③只需证 ④
显然④成立.当且仅当时,等号成立. ,
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数, 且,
是的 ，叫做的算术平均数，
是叫做的 ，叫做的几何平均数，
由基本不等式可得：的等差中项 的等比中项（），
特别的，当时，的等差中项等于的等比中项。

习题一：若，则
若，则
习题二：（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？
设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的总长度表示为 ，
由 可得 ，
当等号成立时，所用篱笆最短，此时
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？
设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的面积表示为 ，
由可得 ，
当等号成立时，面积最大，此时

总结：两个实数
若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。
若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。

练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？
设两边分别为。则

2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

概念回顾：基本不等式 ，其中（）特别的，当 时等号成立。
的算术平均数是 ，
的几何平均数是 。