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第一章 行列式试题及答案
一 选择题 (每小题3分，共30分)
⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换，变为in … i2 i1，则相邻对换的次数为( )
(A) n (B) n/2 (C) 2n (D) n(n-1)/2
⑵ 在函数中，x3的系数是( )
(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4
⑶ 若Dn=det(aij)=1，则det(－aij) = ( )
(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n-1)/2
⑷ 设，则n不可取下面的值是( )
(A)7 (B) 2k+1(k³2) (C) 2k (k³2) (D) 17
⑸ 下列行列式等于零的是( )
(A) (B) (C) (D)
⑹ 行列式D非零的充分条件是( )
(A) D的所有元素非零
(B) D至少有n个元素非零
(C) D的任何两行元素不成比例
(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解
⑺ ( )
(A) (B)
(C) (D)
⑻ 设a,b,c两两不同，则的充要条件是( )
(A) abc=0 (B) a+b+c=0 (C) a=1, b=-1, c=0 (D) a2=b2, c=0
⑼ 四阶行列式( )
(A) (a1a2- b1b2) (a3a4- b3b4) (B) (a1a4- b1b4) (a2a3- b2b3)
(C) (a1b2- a2b1) (a3b4- a4b3) (D) (a1b4- a4b1) (a2b3- a3b2)
⑽ 齐次线性方程组只有零解，则l应满足的条件是( )
(A) l=0 (B) l=2 (C) l=1 (D) l¹1
二　填空 (每小题3分，共15分)
⑴ 在五阶行列式中，的符号是_________。
⑵ 五阶行列式___________。
⑶ 设，则5A14+A24+A44=_______。
⑷ 若a,b是实数，则当a=___且b=___时，有0。
⑸ 设x1,x2,x3是方程x3+px+q=0的根，则行列式__。
三　计算行列式 (每小题6分，共30分)
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ (a¹b)
四　证明题 (每小题10分，共20分)
⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n构成的n元排列，一定可以经过不超过n次对换变成标准排列12…n
⑵ 设平面上三条不同的直线为 ，
证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是
五 解答题 (5分)
l 和m 取何值时，有非零解？

参考答案
一、选择题
⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D)
⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B)； ⑽ (D)
二、填空题
⑴ “-”
调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列，此时列标排列的逆序数为t(24513)=5，故该项带负号。
⑵ 42

⑶ -150
用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有
5A14+A24+A44=
⑷ a=0, b=0
à a=0, b=0
⑸ 0
由题意知，其中x3的系数为k，x2的系数为，与原方程比较，得k=1，x1+x 2+x 3=0。
将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得

三、计算题
⑴

⑵

⑶

⑷ 对n阶行列式按第一行展开，得递推公式

于是有

⑸

得递推公式 ①
Dn的转置行列式相当于将a,b互换，于是有
②
因为a¹b，①´(x-b)-②´(x-a)，得

四、证明题
⑴ 设n元排列为i1i2…in。
当n=2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。
假设结论对n-1元排列成立，下面证明对n元排列也成立
① 若元素in=n。
根据归纳法假设，i1i2…in-1可经过不超过n-1次对换变成12… (n-1)，亦即i1i2…in-1in可经过不超过n-1次对换(<n次)变成12…n
② 若元素in¹n。
不妨设ik=n，只需对换元素ik和in，即得第①种情形，故i1i2…in可经过不超过n次对换变成12…n
⑵ 必要性
设三条直线交于一点(x0,y0)，则x=x0，y=y0，z＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，

故系数行列式 即

由于三条直线不同，因此，a,b,c不能全部相等，故。
充分性
已知，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。
①
将前两个方程相加，有

由于，得，即第三个方程。
因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为
②
其系数行列式

显然D¹0 [否则，a=c=0，并由此得b=- (a+c)=0，这与是直线方程矛盾]
因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。
五、解答题
齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即

故或时，方程组有非零解。