5月北京市西城区高三复习参考资料文理数.doc

2012年西城区高三数学复习参考资料 2012年5月一、选择题：1设等比数列的公比为，前项和为则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件2若，则下列结论正确的是（ ）（A），（B），（C）（D）3【理】如图，是的直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点，且给出下列三个结论： ； ； 其中正确的结论的序号是（ ）（A） （B） （C） （D） 4【理】如图，平面平面，且，给出下列三个结论： ； ； 直线与平面所成角的正切值是其中，所有正确结论的序号是（ ）（A） （B） （C） （D） 5设函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）6已知椭圆的离心率为过椭圆的一个顶点和一个焦点，圆心在此椭圆上，则满足条件的点的个数是（ ）（A）（B）（C）（D）7已知，是抛物线上的动点，且（为原点），那么点的纵坐标的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）8已知函数是定义在上的增函数，当时，若，其中，则（ ）（A）（B）（C）（D）9如图，宽为的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为的细杆能水平地通过拐角（细杆粗细忽略不计），则另一走廊的宽度至少是（ ）（A）（B）（C）（D）10在正四棱柱中，分别是，的中点，则四面体的体积与正四棱柱的体积之比是（ ）（A）（B）（C）（D）11【理】函数的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）12【理】如图，边长为的正方形和正方形成的二面角，分别是线段上的点，且，则线段长度的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题：13已知向量，其中则的取值范围是_.14已知，是两个定点，动点满足，的垂直平分线交 于点，则的取值范围是_.15【理】正三棱柱中，分别为侧棱，上的动点（含端点），为的中点，且.则直线，所成角的大小为_.16已知不等式组所表示的平面区域为，则的面积是_；设点，且，当最小时，点坐标为_ 17. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉现有 种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有_种 （用数字作答）18. 如果直线总不经过点，其中，那么的取值范围是_.19已知全集为，定义集合的特征函数为对于，给出下列四个结论： 对，有； 对，若，则； 对，有； 对，有其中，所有正确结论的序号是 20若实数满足，则的最大值是 .21若对，总有成立，则实数的取值范围是_.22已知椭圆的两个焦点分别为，点满足，则的取值范围是_.23已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_.24设，定义为不小于实数的最小整数（如）.若，则满足的实数的取值范围是_；若，则方程的根为_.25在不超过的正整数中，每次不重复地取出个数，使其和能被整除.则不同取法的种数为_.26在中，若，则_.27【理】函数的最小值为_.三、解答题：28设锐角三角形的内角的对边分别为，且（）求的大小；（）求的取值范围29如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点记，且（）若，求； （）求的最小值.30在中，已知，外接圆半径（）求角的大小；（）求面积的最大值31【理】如图，正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，为侧棱上的点（）求证：；（）若平面，求二面角的大小；（）在（）的条件下，侧棱上是否存在一点，使平面若存在，求的值；若不存在，说明理由32已知椭圆的离心率为，且经过点.（）求椭圆的方程；（）设为椭圆上的两个动点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.33已知椭圆的离心率为，短轴长为（）求椭圆的方程；（）已知点，过原点的直线与椭圆交于两点，直线交椭圆于点，求面积的最大值34【理】动圆过点且在轴上截得的线段长为，记动圆圆心轨迹为曲线.（）求的方程;（）已知是曲线上的两点，且，过两点分别作曲线的切线，设两条切线交于点，求面积的最大值35【理】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点.（）求直线斜率的取值范围；（）设点在线段上，且，求点的轨迹方程.36已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点.在直线上任取一点，记依次为直线的斜率，证明：成等差数列.37已知函数，其中.（）求的单调递减区间；（）若存在，使得，求的取值范围.38如图，矩形内接于由函数及的图象围成的封闭图形，其中顶点在直线上，求矩形面积的最大值39已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设.如果对任意，求的取值范围.40讨论函数的零点个数，其中.41（）设实数，证明：；（）从编号1到 100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：.2012年西城区高三数学复习参考资料 2012年5月一、选择题：123456789101112ADDDCCCCDCBB提示：1由，得.若，则；若，则.2，所以最大.又.4强调立体几何的传统方法 6适当用点平面几何知识，圆心是顶点和焦点构成的线段的中垂线与椭圆的交点7设，则.消去整理得，即，利用均值定理即可.8由及是上的增函数，得. 进而（舍去），或，或（舍去）. 由，得；由，得； 由，得. 注意到，且，得，.9解：设细杆与另一走廊一边夹角为，又设另一走廊的宽为.由于只有一个极小值，所以它是最小值，这时. 11简解：的定义域为.由，得.易知是极大值点，由得. 强调导数的工具性！二、填空题：13； 14； 15； 16，； 17； 18； 19、； 20； 21； 22； 23； 24，或；25； 26； 27提示：14连结，由，得点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立坐标系，易求得点的轨迹方程为.由，且，得，注意到，从而.18转化为直线与圆相离.20两式相减得，即.由，得.所以，所以.21 当是正奇数时，原不等式化为，欲使上式对于任意正奇数恒成立，则 当是正偶数时，原不等式化为，欲使上式对于任意正偶数恒成立，则 22点在已知椭圆的内部（含边界）23，即，所以.24由的含义知； 设，则，.于是，原方程等价于，即，解得，所以，或，相应的，或.25将这个的正整数按被除的余数分为类：从每类中各取个数或类中各取个数符合要求.27设，则.从而转化为.由，得当时，；当时，.于是，函数在内为减函数，在内为增函数.故（即）得最小值为.三、解答题：28（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，故从而，所以由此有，所以，的取值范围为说明：本题（）中的范围的判断易错！29（）解：依题意，所以 因为，且，所以 所以 （）解：由三角函数定义，得，从而所以 因为，所以 ， 所以当，即时，取得最小值说明：本题（）中三角函数的定义希望学生关注！30（）由，得，所以，即，因为为内角，所，由，得（）又由余弦定理得，即又， 所以所以有，当且仅当即为等边三角形时，的面积取得最大值31解法一：连接，设，如图建立空间直角坐标系.（）设，则，.，.（）平面的一个法向量，平面的一个法向量.设二面角的平面角为，二面角的大小为.（）侧棱上存在一点，使得平面由（）得是平面的一个法向量，设，则，而，解得即当时，平面，平面解法二：（）设点在平面上的正投影为，连结，是正四棱锥， 平面， 是在平面上的正射影 是正方形， ，根据三垂线定理，得.（）连结.是正四棱锥， ， 是的中点， .又 ， 是二面角的平面角.设，则，. 平面， ，且.在中， ，二面角的大小为.（）侧棱上存在一点，使得平面取的中点，连结，在平面内过点作/，交于点，则点为所求.证明如下： 是等边三角形， ， /又 /， 平面平面，平面， 32（）椭圆的方程为：（）设，则 ，.依题意有 ，即，整理得 .将，代入上式，消去，得 .依题意有 ，所以.注意到 ，且两点不重合，从而.所以 .说明：变量方程观解决多变量问题！33解：（）椭圆的方程为（）设直线的方程为，代入椭圆方程得，由，得，所以 ，因为是的中点，所以 由 ，设，则，当且仅当时等号成立，此时面积取最大值,最大值为34解：（）设圆心坐标为，那么，化简得（）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)设直线PQ的方程为，代入曲线C的方程得， 所以因为，所以所以, 过P、Q两点曲线C的切线方程分别为两式相减，得，代入过P点曲线C的切线方程得, ， 即两条切线的交点M的坐标为（），所以点M到直线PQ的距离为当时, ,此时的面积的取最大值解法二: 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为两式相减得，代入过P点曲线C的切线方程得, ，即两条切线的交点M的坐标为(，)设PQ中点为C，则C的坐标为(，)，所以MC平行于y轴，所以设点M到直线PQ的距离为d，那么(当且仅当时等号成立) 又因为，所以，即，所以 (当且仅当时等号成立) 因此，所以的面积的最大值为35（）设直线：，将其与抛物线方程联立，消去整理得.令，解得，或.（）设点，则.由，且都在直线上，从而有. 由，得三者同号，于是式等同于.利用，上式可化为.利用直线的方程，消去参数得.由，或，得且.所以，点的轨迹方程是，其中且.36证明：易知，设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，消去整理得.设点，则.故，所以，成等差数列.37（）解： 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，当时，令，解得 ，或 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 当时，为常值函数，不存在单调区间 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，（）解： 当时，若，；若，不合题意 当时，显然不合题意 当时，取，则；取，则，符合题意 当时，取，则；取，则，符合题意综上，的取值范围是38解：由图，设A点坐标为,则由图可得，记矩形ABCD的面积为S，易得：令，得所以，令，得，因为，所以.随t的变化情况如下表：t+0极大值 由上表可知，当，即时， S取得最大值为，所以矩形ABCD面积的最大值为.39解：（）的定义域为，. 当时，故在单调递增； 当时，故在单调递减； 当时，令，得.当时，；当时，.故在单调递增；故在单调递减.（）不妨设，因为，由（）在单调递减，从而对任意，等价于对任意，. 令，则. 等价于在单调递减，即.从而，得.故的取值范围是.40解： 当时，在同一坐标系中作函数与的图象，易知两图象有且仅有一个交点，故此时有且只有一个的零点. 当时，.当时，；当时，.从而在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为.故当，即时，函数没有零点.当，即时，方程恰有一解，此时函数恰有一个零点.当，即时，方程在区间和内各有一解，此时函数恰有两个零点.综上，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，函数恰有两个零点.41（）构造函数，则.当时，所以在上单调递增，所以当时，即，即.（）.又从而.在（）的结论中，令，得，从而，即.综上，.