5月北京市西城区高三复习参考资料文理数.doc

2012年西城区高三数学复习参考资料
2012年5月
一、选择题：
1．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分又不必要条件

2．若，，，则下列结论正确的是（ ）
（A），
（B），
（C）
（D）

3．【理】如图，是⊙的直径，为⊙上一点，过作⊙的切线交的延长线
于点，且．给出下列三个结论：
① ；
② ；
③ ．
其中正确的结论的序号是（ ）
（A）① ②
（B）② ③
（C）① ③
（D）① ② ③

4．【理】如图，平面平面，．，，，且，．给出下列三个结论：
① ； ② ；
③ 直线与平面所成角的正切值是．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
（A）① ②
（B）② ③
（C）① ③
（D）① ② ③

5．设函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

6．已知椭圆的离心率为．⊙过椭圆的一个顶点和一个焦点，圆心在此椭圆上，则满足条件的点的个数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

7．已知，是抛物线上的动点，且（为原点），那么点的纵坐标的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

8．已知函数是定义在上的增函数，当时，．若，其中，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

9．如图，宽为的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为的
细杆能水平地通过拐角（细杆粗细忽略不计），则另一
走廊的宽度至少是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

10．在正四棱柱中，分别是，的中点，则四面体的体积与正四棱柱的体积之比是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

11．【理】函数的最大值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

12．【理】如图，边长为的正方形和正方形
成的二面角，分别是线段上的点，且
，则线段长度的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：
13．已知向量，，其中．则的取值范围是_____.

14．已知，是两个定点，，动点满足，的垂直平分线交
于点，则的取值范围是_____.

15．【理】正三棱柱中，，分别为侧棱，上的动点（含端点），为的中点，且.则直线，所成角的大小为_____.

16．已知不等式组所表示的平面区域为，则的面积是_____；设点，且，当最小时，点坐标为_____．

17. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求
每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉．现有
种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有_____种．
（用数字作答）

18. 如果直线总不经过点，其中，那么的取值范围是_____.
19．已知全集为，，定义集合的特征函数为对于，，给出下列四个结论：
① 对，有；
② 对，若，则；
③ 对，有；
④ 对，有．
其中，所有正确结论的序号是 ．

20．若实数满足，，则的最大值是 .

21．若对，总有成立，则实数的取值范围是_________.
22．已知椭圆的两个焦点分别为，点满足，则的取值范围是_________.

23．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________

24．设，定义为不小于实数的最小整数（如）.若，则满足的实数的取值范围是______；若，则方程的根为_______.

25．在不超过的正整数中，每次不重复地取出个数，使其和能被整除.则不同取法的
种数为_________.

26．在中，若，则_________.

27．【理】函数的最小值为_________.

三、解答题：
28．设锐角三角形的内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．

29．如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点．记，且．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最小值.

30．在△中，已知，外接圆半径．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求△面积的最大值．

31．【理】如图，正四棱锥的侧棱长是底面边长的
倍，为侧棱上的点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若平面，求二面角的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱上是否存在一点，使
∥平面．若存在，求的值；若不存在，说明
理由．

32．已知椭圆的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.

33．已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，过原点的直线与椭圆交于两点，直线交椭圆于点，求△面积的最大值．

34．【理】动圆过点且在轴上截得的线段长为，记动圆圆心轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程;
（Ⅱ）已知是曲线上的两点，且，过两点分别作曲线的切线，设两条切线交于点，求△面积的最大值．

35．【理】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点.
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）设点在线段上，且，求点的轨迹方程.

36．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点.在直线上任取一点，记依次为直线的斜率，证明：成等差数列.

37．已知函数，其中.
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若存在，，使得，求的取值范围.

38．如图，矩形内接于由函数
及的图象围成的封闭图形，其中顶点在直线
上，求矩形面积的最大值．

39．已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设.如果对任意，，求的取值范围.

40．讨论函数的零点个数，其中.

41．（Ⅰ）设实数，证明：；
（Ⅱ）从编号1到 100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：.
2012年西城区高三数学复习参考资料
2012年5月
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
D
D
C
C
C
C
D
C
B
B

提示：
1．由，得.
若，则；若，则.
2．，，，所以最大.
又.
4．强调立体几何的传统方法．
6．适当用点平面几何知识，圆心是顶点和焦点构成的线段的中垂线与椭圆的交点．
7．设，则.
消去整理得，即，利用均值定理即可.
8．由及是上的增函数，得.
进而（舍去），或，或（舍去）.
由，得；由，得；
由，得.
注意到，且，得，.
9．解：设细杆与另一走廊一边夹角为，又设另一走廊的宽为.

由于只有一个极小值，所以它是最小值，这时.
11．简解：的定义域为.
由，得.
易知是极大值点，由得.
强调导数的工具性！

二、填空题：
13．； 14．； 15．； 16．，；
17．； 18．； 19．①、②、③； 20．；
21．； 22．； 23．； 24．，或；
25．； 26．； 27．．
提示：
14．连结，由，得点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的
椭圆.
以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立坐标系，易求得点的轨迹方程为.
由，且，得，注意到，从而.
18．转化为直线与圆相离.
20．两式相减得，即.
由，得.
所以，所以.
21．① 当是正奇数时，原不等式化为，欲使上式对于任意正奇数恒成立，则
② 当是正偶数时，原不等式化为，欲使上式对于任意正偶数恒成立，
则
22．点在已知椭圆的内部（含边界）．
23．，即，所以.
24．由的含义知；
设，则，.
于是，原方程等价于，即，
解得，所以，或，相应的，或.
25．将这个的正整数按被除的余数分为类：从每类中各取个数或类中各取个数符合要求.
27．设，则.从而转化为.
由，
得当时，；
当时，.
于是，函数在内为减函数，在内为增函数.
故即）得最小值为.

三、解答题：
28．（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，，，故．
从而，所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
说明：本题（Ⅱ）中的范围的判断易错！

29．（Ⅰ）解：依题意，所以．
因为，且，所以．
所以．
（Ⅱ）解：由三角函数定义，得，从而．
所以
．

因为，所以 ，
所以当，即时，取得最小值．
说明：本题（Ⅱ）中三角函数的定义希望学生关注！

30．（Ⅰ）由，得，
所以，即，
因为为△内角，所，．
由，得．
（Ⅱ）
又由余弦定理得，
即
又， 所以
所以有，
当且仅当即△为等边三角形时，△的面积取得最大值

31．解法一：连接，设，如图建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）设，则，，
∴　，，，
∴　，.
∵　，
∴　.
（Ⅱ）平面的一个法向量，平面的一个法向量.
设二面角的平面角为，
∵　，
∴　二面角的大小为.
（Ⅲ）侧棱上存在一点，使得∥平面．
由（Ⅱ）得是平面的一个法向量，，．
设　，
则　，
而　，解得．
即当时，，
∵　平面，
∴　∥平面．
解法二：
（Ⅰ）设点在平面上的正投影为，连结，．
∵　是正四棱锥，
∴ 平面，
∴ 是在平面上的正射影．
∵ 是正方形，
∴ ，
根据三垂线定理，得.
（Ⅱ）连结.
∵　是正四棱锥，
∴ ≌，
∵ 是的中点，
∴ .
又 ，
∴ 是二面角的平面角.
设，则，.
∵ 平面，
∴ ，且.
在中， ，
∴　二面角的大小为.

（Ⅲ）侧棱上存在一点，使得∥平面．
取的中点，连结，在平面内过点作//，交于点，则点为所求.
证明如下：
∵ 是等边三角形， ∴ ，
∴ //．
又 //， ∴ 平面∥平面，
∴　∥平面．
∽， ∴ ．

32．（Ⅰ）椭圆的方程为：
（Ⅱ）设，则 ，.
依题意有 ，即，
整理得 .
将，代入上式，消去，得 .
依题意有 ，所以.
注意到 ，，且两点不重合，从而.
所以 .
说明：变量方程观解决多变量问题！

33．解：（Ⅰ）椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程得，
由，得，
所以 ，．
因为是的中点，
所以 ．
由 ，
设，
则，
当且仅当时等号成立，此时△面积取最大值,最大值为．

34．解：（Ⅰ）设圆心坐标为，那么，化简得．
（Ⅱ）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
设直线PQ的方程为，代入曲线C的方程得，
所以．
因为，所以．
所以, ．
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为．
两式相减，得．
，，．
代入过P点曲线C的切线方程得, ．
，．
即两条切线的交点M的坐标为（），所以点M到直线PQ的距离为
．
当时, ,此时的面积的取最大值．
解法二: 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
．
两式相减得，
，，．
代入过P点曲线C的切线方程得, ．
，．
即两条切线的交点M的坐标为(，)．
设PQ中点为C，则C的坐标为(，)，所以MC平行于y轴，所以
．
设点M到直线PQ的距离为d，那么(当且仅当时等号成立) ．
又因为，所以，
即，．
所以 (当且仅当时等号成立) ．
因此，，
所以的面积的最大值为．

35．（Ⅰ）设直线：，将其与抛物线方程联立，消去整理得
.
令，解得，或.
（Ⅱ）设点，则.①
由，且都在直线上，
从而有. ②
由，得三者同号，
于是②式等同于.
利用①，上式可化为.
利用直线的方程，消去参数得.
由，或，得且.
所以，点的轨迹方程是，其中且.

36．证明：易知，设直线的方程为，
将其与抛物线方程联立，消去整理得.
设点，则.
故
，
所以，成等差数列.

37．（Ⅰ）解：．
① 当时，令，解得 ．
的单调递减区间为；单调递增区间为，．
当时，令，解得 ，或．
② 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．
③ 当时，为常值函数，不存在单调区间．
④ 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．
（Ⅱ）解：① 当时，若，；若，，不合题意．
② 当时，显然不合题意．
③ 当时，取，则；取，则
，符合题意．
④ 当时，取，则；取，则，
符合题意．
综上，的取值范围是．

38．解：由图，设A点坐标为,,则．由图可得，记矩形ABCD的面积为S，易得：．
令，得．
所以，令，得，
因为，所以.
随t的变化情况如下表：
t

+
0

↗
极大值
↘
由上表可知，当，即时， S取得最大值为，所以矩形ABCD面积的最大值为.

39．解：（Ⅰ）的定义域为，.
① 当时，，故在单调递增；
② 当时，，故在单调递减；
③ 当时，令，得.
当时，；当时，.
故在单调递增；故在单调递减.
（Ⅱ）不妨设，因为，由（Ⅰ）在单调递减，
从而对任意，，
等价于对任意，. ④
令，则.
④ 等价于在单调递减，即.
从而，得.
故的取值范围是.

40．解：① 当时，在同一坐标系中作函数与的图象，易知两图象有且仅有一个交点，故此时有且只有一个的零点.
② 当时，.
当时，；当时，.从而在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为.
故当，即时，，函数没有零点.
当，即时，方程恰有一解，此时函数恰有一个零点.
当，即时，方程在区间和内各有一解，此时函数恰有两个零点.
综上，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，函数恰有两个零点.

41．（Ⅰ）构造函数，
则.
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，即，即.
（Ⅱ）.
又从而.
在（Ⅰ）的结论中，令，得，从而，即.
综上，.