初三相似图形思维导图内容111模板.doc

★比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
　　线段a、b、c、d成比例，表示为或a∶b＝c∶d（称其为比例式），其中a、b、c、d叫做组成比例的项，a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项．
　　若作为比例内项是两条相同的线段，即a∶b＝b∶c或，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．
例1、如果，且x＋y＋z＝12，求x，y，z的值．
解：设，则x＝3k－4，y＝2k－3，z＝4k－8．
　　代入x＋y＋z＝12中，得3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，解得k＝3．
　　∴x＝3k－4＝3×3－4＝5，y＝2k－3＝2×3－3＝3，z＝4k－8＝4×3－8＝4．
★比例的基本性质

　　其中（3）称为合比性质，（4）称为等比性质．
例2、已知a,b,c分别是△ABC的三边长，且，试猜想△ABC的形状，并说明理由．
解：因为a+b+c≠0, 且,所以，
　　同理，因为 a≠0,b≠0,c≠0，所以a-b=0, b-c=0, c-a=0,即a=b,b=c,c=a,
　　所以 a=b=c．所以△ABC是等边三角形．
例3、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形是正方形，那么边长是多少？若这个矩形的长是宽的两倍，则边长是多少？

解：（1）设正方形边长为xmm，∵ PQ∥AD，PN∥BC，根据平行线分线段成比例得
　　，由题意知PN=PQ=x，AD=80，BC=120，
　　∴，两式相加得
　　解得x=48.∴这个正方形的边长为48mm．
　　（2）设长方形的宽为xmm，长为2xmm，∵ PQ∥AD，PN∥BC，根据平行线分线段成比例得，
　　①若PN=2x， PQ=x，AD=80，BC=120，∴，两式相加得
　　　　解得x=
　　②若PN=x， PQ=2x，AD=80，BC=120，∴，两式相加得

　　解得x=30（mm），∴2x=60(mm).
答：矩形的长为宽为或长为60mm，宽为30mm．
★相似多边形
1）相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．
2）相似多边形定义：一般地，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
3）相似多边形的性质及判定
　　相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例．
　　相似多边形的判定：(1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边成比例．
　　判定两个多边形相似，这三个条件缺一不可，另外，形状相同的图形也是相似图形．

★相似三角形的判定
1、相似三角形
定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫相似三角形．其中对应边的比称为相似比，当相似比等于1时，两个相似三角形全等．
2、相似三角形的判定
（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（3）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（4）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（5）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似.
例4、已知，如图，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为．

　　(1)在x轴上存在这样的点M，使△MAB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；
　　(2)动点P从点C开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P、Q移动的时间为t秒．
　　①是否存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
②设△BPQ的面积为S，求S与t间的函数关系式，并求出t为何值时，S有最小值．

解：(1)如图，易知A(0,1)，．
　　①AB为底边，则，
　　②AB为腰且MA=AB时，由题意可知．
　　∴，由对称性知．
③AB为腰且MB=AB时，由题意可知．
∴．　　由对称性知．

(2)①假设存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似．如图所示，
　　∵，OQ=t，，由得，
　　即t2＋t－1=0或3t=2，解得．
　　又∵0≤t≤1，∴当时，△OPQ与△BCP相似．

　　当时，面积S有最小值，最小值是．

例5、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
　　（1）证明：；
　　（2）设，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
　　（3）当M点运动到什么位置时，求x的值．

（1）证明：在正方形ABCD中，，
　　，，．
　　在中，，，．
　（2）解：，
　　，，
　　，
　　当时，y取最大值，最大值为10．
　　（3）解：，∴要使，必须有，
　　由（1）知，，∴当点M运动到BC的中点时，，此时．
★黄金分割
设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b
∴ ∴
∴ ∴ ∴ 近似值为0.618
例6、已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长。
解：设AB=x，∴BC=x-5√5+5，由AC/AB=BC/AC，
得x（x-5√5+5）=（5√5-5）²
x²-5√5x+5x+50√5-150=0
x=[（5√5-5）±5（5-√5）]/2
x1=10，x2=5√5-15(小于0舍去）。
∴AB=10，BC=15-5√5.
★相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
（3）相似三角形的周长的比等于相似比．
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
例7、如图，△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC=3S△EFD．求S△ADE∶S△ABC．

解：
★位似
1、位似变换的定义
　　若两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都经过同一个点，则这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比又称位似比．从定义可看出，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．
2、位似图形的性质
　　位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
例8、如图△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF:GF＝2:1
（1）在△ABC内画出矩形GFEH的位似形，使其顶点在△ABC的边上．（保留作图痕迹）
（2）求所作的矩形的面积．

解：（1）矩形GFEH的位似形其长与宽的比为2:1，设其宽为x，则长为2x，
　　根据相似三角形的性质可知：①，②，
　　两式左右两边分别相加得：，解得：x＝24，，∴．
　　由此先找出点I，然后作IJ⊥AB于点J，作IK∥AB交AC于点K，再过点K作KL⊥AB于点L，连接各顶点，四边形IJLK即为所求．所画图形如下所示：

　　（2）由（1）可知，该矩形的长为48，宽为24，

3、在平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称后，各点的坐标会发生相应变化，同样，图形经过位似变换后，点的坐标也会发生相应变化．
　　变化规律为：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标值的比等于k或－k．
　　警示：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形坐标的变化规律．
　　（2）当对应点在同一象限内时，对应点坐标的比（指横坐标与横坐标，纵坐标与纵坐标的比）等于k．
　　（3）当一个点在x轴上，它的对应点仍在x轴上，且横坐标的比等于k或－k（这时纵坐标为0，比值不存在），在y轴上的情形类似．
例9、如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4）、B（-3，1）、C（-1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′．
（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）
（2）求△A′B′C′的面积．

解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
　　A′（-4，8）；B′（-6，2）；C′（-2，2）．
　　（2）∵S△ABC=×2×3=3，
　　又∵△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1，
　　∴，
　　∴S△A′B′C′=4S△ABC=12．