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第六节 平面及其方程

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.

分布图示
★ 平面的点法式方程 ★ 例1 ★ 例2
★ 平面的一般方程 ★ 例3 ★ 例4
★ 平面的截距式方程 ★ 例5
★ 平面的夹角
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 点到平面的距离
★ 例9 ★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8-6 ★ 返回

内容要点
一、平面的点法式方程：
二、平面的一般方程：
三、平面的截距式方程：
四、两平面的夹角：设有两平面和：

则两平面的夹角
从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出：
（1） 的充要条件是；
（2）的充要条件是
（3）重合的充要条件是
五、点到平面的距离：

例题选讲

平面的点法式方程
例1 (E01) 求过点且与平面平行的平面方程.
解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为设所求平面的法向量为则故可取于是，所求平面方程为
即

例2 (E02) 求过点和的平面方程.
解 取
所求平面方程为 化简得

平面的一般方程
例3 (E03) 求通过轴和点的平面方程.
解 设所求平面的一般方程为因为所求平面通过轴，且法向量垂直于轴,于是法向量在轴上的投影为零，即
又平面通过原点，所以从而方程成为 (1)
又因平面过点因此有即 以此代入当成(1)，再除以便得到所求方程为

例4 (E04) 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.
解 设平面为由平面过原点知由平面过点知

所求平面方程为

平面的截距式方程
例5 (E05) 求平行于平面而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面方程为

由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件
令 由

所求平面方程为 即

两平面的夹角
例6 (E06) 研究以下各组里两平面的位置关系:
(1)
(2)
解 且
故两平面相交，夹角为
且又
故两平面平行但不重合.

例7 求平面II, 使其满足:
(1) 过轴;
(2) II与平面夹角为.
解 因为平面过轴，可设其方程为又因为与已知平面夹角为故
或
或

例8 (E07) 求经过两点和且与平面垂直的平面的方程.
解 设所求的平面方程为由于点和在平面上，故

又由于所求平面与平面垂直,由两平面垂直条件有
从上面三个方程中解出得
代入所设方程，并约去因子得所求的平面方程

点到平面的距离
例9 (E08) 求两平行平面：和： 之间的距离.
解 可在平面上任取一点，该点到平面的距离即为这两平行平面间的距离.
为此，在平面上取点则

例10 求平行于平面, 且与球面相切的平面的方程.
解 可利用条件写出平面的一般式方程,再利用球心到平面的距离来确定一般式方程中的特定系数.
由可设平面的方程为
因为平面与球面相切，故球心到平面的距离

得
故所求平面的方程为或

课堂练习
1.若平面与平面的夹角为,求.
2.求通过点且垂直于平面

的平面方程.