极坐标系与极坐标方程.doc

一、坐标系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。
二、平面直角坐标系的伸缩变换
定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ④的作用下，点P（x，y）对应到点P’（x’，y’），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
三．例题讲解
例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）2x+3y=0； （2）x2+y2=1

三、极坐标系
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 r 表示线段OM的长度，用 q 表示从OX到OM 的角度，r 叫做点M的极径， q叫做点M的极角，有序数对（r，q）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知r≥0;当极角q的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角
当r＜0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （r，q）也可以表示为
4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标
A（4，0）B（2 ）C（ ）D（ ）
E（ ）F（ ）G（ ）
规定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，）

例2 在极坐标系中，
（1） 已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
（2） 已知M的极坐标为（r，q）且q=，r，说明满足上述条件的点M 的位置。

变式训练
1、若的的三个顶点为

2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）

例3 已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P是点Q关于极点O的对称点；
（2） P是点Q关于直线的对称点；
（3） P是点Q关于极轴的对称点。

变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )

2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。

四、极坐标与直角坐标的互化
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3 化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三、数学应用
例1（1）把点M 的极坐标化成直角坐标； （2）把点P的直角坐标化成极坐标。

变式训练
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离

例2若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
(1) 已知A的极坐标求它的直角坐标,
(2) 已知点B和点C的直角坐标为求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)

变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)

例3在极坐标系中,已知两点.求A,B中点的极坐标.

变式训练
在极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一条直线上.

五、常用曲线的极坐标方程
1、若直线经过且极轴到此直线的角为，求直线的极坐标方程。

变式训练：直线经过且该直线到极轴所成角为，求此直线的极坐标方程。

2、若圆心的坐标为，圆的半径为，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

3、 在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。

三、巩固与练习
在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，
（1）求圆的极坐标方程。
（2）若点在圆上运动，在的延长线上，且，求动点的轨迹方程。

1、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系 ②设点 ③列出等式
④用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取为极点，垂直于定直线的方向为极轴的正方向。
⑵表示离心率，表示焦点到准线距离。
2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。

例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。

变式训练
设P、Q是双曲线上的两点，若。
求证：为定值；

三、巩固与练习
已知抛物线的焦点为。
（1）以为极点，轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；

（2）过取作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线的倾斜角。

基础训练
1．直线 的斜率是
2．极坐标方程表示的曲线是
3．曲线和的交点坐标
4．在极坐标系中与圆相切的一条直线方程为 （ ）
A、 B、 C、 D、
5．椭圆的长轴长
二、讲解新课：
例1．求曲线关于直线对称的曲线方程。

例2．求下列两曲线的交点坐标。
和

例3．已知圆，直线，过极点作射线交圆于点，交直线于点，当射线以极点为中心转动时，求线段的中点的轨迹方程。

例4．已知A、B为椭圆上两点，若。（为原点）
（1）求证为定值；
（2）求面积的最值。