基本不等式及其应用教学设计.docx

《基本不等式及其应用》教学设计
一、教学内容分析
本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以基本不等式应重点研究。
从教学设计理念上来看，教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用，不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习，更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，引导学生主体参与、探究本质、经历过程。
从知识应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求周长一定，面积最大；面积一定，周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。
从学生能力的培养来看，基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
二、学情分析
学生在初中阶段，学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念，高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生数形结合、类比转化等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。
另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并在第二课时重点学习与掌握。
三、教学目标设计
1. 理解并掌握两个基本不等式，并能运用它们解决一些简单问题，如本节课导入环节中的实际问题；
2. 思考生活中实际问题的解决方案，感受基本不等式的知识产生过程，并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势；
3. 经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、类比代换等学习思想；
4. 学会用数学的眼光看世界，用数学思维认知世界，养成善于思考的良好习惯；
四、教学重点及难点
1. 教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用；
2. 教学难点：基本不等式的应用，包括解决实际问题，求最值；
3. 几点说明：整堂课主要采用 “问题 ―― 思考 ―― 剖析 ――证明――应用”的流程，从问题出发，应用数形结合理解不等式，并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件，尤其是对等号成立时充要条件的理解；在基本不等式的应用时，通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证，然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考，接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习，逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。
五、教学方法与手段
本节课采用“问题――思考――剖析――归纳――应用”的教学设计思路：
1. 提出问题、启发诱导，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学
生探究思索；
2. 讲练结合，同时采用变式教学，巩固应用，加深理解；
3. 以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，直观演示，不仅启发思考，也
加深学生对基本不等式的理解。
六、教学过程设计
1. 问题提出
问题：班级要用班费为秋游做准备，其中有一项要准备塑料绳子，把树干围成矩形作为活动的场所，由于班费有限，如何用最短的绳子围成最大的面积呢？
设计意图：引导学生在已学知识的基础上，针对该问题进行思考与讨论，不仅提高对于基本不等式学习的兴趣，更培养它们分析问题的能力；
2. 基本不等式1的引入
问题：在客观世界中，有些不等关系是永远成立的，引发学生试举一些恒成立的不等关系.
根据学生回答，针对 （ ）进行提问，既然 ，那么可以用 代替不等式中的 吗？
得到：
进一步变形可得：
思考：
l 不等式恒成立， 和 应该满足什么条件；
l 不等式的等号成立时， 和 应该满足什么条件；
设计意图：
l 基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系，引出 ；
l 引发学生思考 和 所满足的条件，帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解；
3. 基本不等式1
对于任意实数 和 ，有 ，当且仅当 时等号成立.
（1）基本不等式1的辨析
l ；
l 当且仅当 时等号成立；
思考：“当且仅当”的含义是？
l 当a=b时，取等号，即 ；
l 仅当a=b时，取等号，即 。
设计意图：对应问题引入中的两个思考，再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。
（2）基本不等式1的几何解释

a
b
l 已知：四个全等的直角三角形构成正方形，直角边分别为a、b，当a≠b时，构成的正方形如左图所示，当a＝b时，构成的正方形如右图所示.
l 那么：大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的
大小关系是？
设计意图：给出基本不等式1的几何解释，帮助学生加深对基本不等式1的理解，尤其是对“当且仅当”的理解。
4. 基本不等式2的引入
问题：当a>0,b>0时，在不等式 中，以、分别代替a、b，得到什么？
得到：
设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，有助于今后的学习。
5. 基本不等式2
对于任意正数 、 ，有 ，当且仅当 时等号成立.
把 和 分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（1）基本不等式2的辨析
l ；
l 当且仅当 时等号成立；
思考：“当且仅当”的含义是？
l 当a=b时，取等号，即 ；
l 仅当a=b时，取等号，即 。
（2）基本不等式2的证明
证明：法1.因为 、 为正数，所以 、 均存在.
由基本不等式1，得，当且仅当 时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
法2.因为 ，所以 .
当 时， .当时， .
所以，当且仅当 时， 的等号成立.
（3）基本不等式2的扩充
思考：当、为零时，基本不等式2是否成立？
基本不等式2的扩充：对于任意非负数 、 ，有 ，当且仅当 时等号成立.
（4）基本不等式2的几何解释
l 已知：AB是半圆O的直径，过圆周上任意一点D做AB的垂线，令AC=a、CB=b，
那么DO=_____________，DC=_______________；
l 得到：____________________________________；
设计意图：给出基本不等式2的几何解释，帮助学生加深对基本不等式2的理解，尤其是对“当且仅当”的理解.
6. 基本不等式的应用
例1：已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件.
证明：方法多种，可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手，进行求证，同时也可以运用基本不等式求最值的方法；
其中一种方法示范板书为：
因为 ，所以 、 同号，并有 ， .
所以， .当且仅当 ，即 时等号成立.
思考：若 ，则代数式 的取值范围是什么？
设计意图：考察学生运用基本不等式时，要特别注意等号取到时的条件是否满足。
例2：若 的最小
值为________,此时
练习2： 的最小
值为________,此时
设计意图：帮助学生辨识基本不等式的结构特点，以及求最值的简单运用。
例3. 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？
猜想：由几何画板演示得出.
解：设矩形的长、宽分别为 、 （ 、 ）且 （定值），则同样周长的正方形的边长为 .
矩形面积，正方形面积
由基本不等式2，得，又由不等式的性质得 ，即 .
由题意， （定值），所以 （定值）.当且仅当 ，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.
思考：例3中的 ， 为什么要为定值呢？如果不是定值，面积有最大值吗？
设计意图：
l 通过例2和例3，先让学生通过基本不等式的运用，体验并思考“当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值”，这样在第二课时给出该结论效果会更好；
l 例3也解决了情境创设环节提出的实际问题，让学生切实感受到学以致用的乐趣；
7. 课堂小结
l
l
l 初步应用两个基本不等式求最值.
8. 作业练习
（1）2.4.1卷1（详见附录）
（2）思考题
l 通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.
l 在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？
l 整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.

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