1、 基本不等式及其应用教学设计一、教学内容分析本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的,要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以基本不等式应重点研究。从教学设计理念上来看,教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用,不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习,更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动,引导学生主体参与、探究本质、经历过程。从知识应用价值上来看,基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所
2、蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用;另外它在如“求周长一定,面积最大;面积一定,周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。从学生能力的培养来看,基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。二、学情分析学生在初中阶段,学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念,高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解,学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容,变换灵活,应用广泛,条件有限制,考察了学生数形结合、类比转化等数学思想;对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高,在实
3、际问题的解决中应用广泛。因此,必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手,才能让学生深刻理解它的本质。另外,在用基本不等式解决最值时,学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件,因此,在教学过程中,应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用,并在第二课时重点学习与掌握。三、教学目标设计1. 理解并掌握两个基本不等式,并能运用它们解决一些简单问题,如本节课导入环节中的实际问题;2. 思考生活中实际问题的解决方案,感受基本不等式的知识产生过程,并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势;3. 经历观察、分析、归纳、总结、抽
4、象概括等思维活动,培养分析问题、解决问题的能力,体会数形结合、类比代换等学习思想;4. 学会用数学的眼光看世界,用数学思维认知世界,养成善于思考的良好习惯;四、教学重点及难点1. 教学重点:两个基本不等式的知识发生过程和证明;基本不等式的应用;2. 教学难点:基本不等式的应用,包括解决实际问题,求最值;3. 几点说明:整堂课主要采用 “问题 思考 剖析 证明应用”的流程,从问题出发,应用数形结合理解不等式,并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件,尤其是对等号成立时充要条件的理解;在基本不等式的应用时,通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证,然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考,
5、接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习,逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。五、教学方法与手段本节课采用“问题思考剖析归纳应用”的教学设计思路:1. 提出问题、启发诱导,以学生为主体,以基本不等式为主线,从实际问题出发,放手让学生探究思索;2. 讲练结合,同时采用变式教学,巩固应用,加深理解;3. 以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段,直观演示,不仅启发思考,也加深学生对基本不等式的理解。六、教学过程设计1. 问题提出问题:班级要用班费为秋游做准备,其中有一项要准备塑料绳子,把树干围成矩形作为活动的场所,由于班费有限,如何用最短的绳子围成最大的面积呢?设计意
6、图:引导学生在已学知识的基础上,针对该问题进行思考与讨论,不仅提高对于基本不等式学习的兴趣,更培养它们分析问题的能力;2. 基本不等式1的引入问题:在客观世界中,有些不等关系是永远成立的,引发学生试举一些恒成立的不等关系.根据学生回答,针对 ( )进行提问,既然 ,那么可以用 代替不等式中的 吗?得到:进一步变形可得:思考:l 不等式恒成立, 和 应该满足什么条件;l 不等式的等号成立时, 和 应该满足什么条件;设计意图:l 基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系,引出 ;l 引发学生思考 和 所满足的条件,帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解;3. 基本不等式1对于任意实数
7、和 ,有 ,当且仅当 时等号成立.(1)基本不等式1的辨析l ;l 当且仅当 时等号成立;思考:“当且仅当”的含义是?l 当a=b时,取等号,即 ;l 仅当a=b时,取等号,即 。设计意图:对应问题引入中的两个思考,再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。(2)基本不等式1的几何解释abl 已知:四个全等的直角三角形构成正方形,直角边分别为a、b,当ab时,构成的正方形如左图所示,当ab时,构成的正方形如右图所示.l 那么:大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的大小关系是?设计意图:给出基本不等式1的几何解释,帮助学生加深对基本不等式1的理解,尤其是对“当且仅当”的理解。4. 基本不等式
8、2的引入问题:当a0,b0时,在不等式 中,以、分别代替a、b,得到什么?得到:设计意图:类比是学习数学的一种重要方法,此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的,突破了重点和难点,而且感受了其中的函数思想,有助于今后的学习。5. 基本不等式2对于任意正数 、 ,有 ,当且仅当 时等号成立.把 和 分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(1)基本不等式2的辨析l ;l 当且仅当 时等号成立;思考:“当且仅当”的含义是?l 当a=b时,取等号,即 ;l 仅当a=b时,取等号,即 。(2)基本不等式2的证明证明
9、:法1.因为 、 为正数,所以 、 均存在.由基本不等式1,得,当且仅当 时等号成立.即,当且仅当时等号成立.法2.因为 ,所以 .当 时, .当时, .所以,当且仅当 时, 的等号成立.(3)基本不等式2的扩充思考:当、为零时,基本不等式2是否成立?基本不等式2的扩充:对于任意非负数 、 ,有 ,当且仅当 时等号成立.(4)基本不等式2的几何解释l 已知:AB是半圆O的直径,过圆周上任意一点D做AB的垂线,令AC=a、CB=b,那么DO=_,DC=_;l 得到:_;设计意图:给出基本不等式2的几何解释,帮助学生加深对基本不等式2的理解,尤其是对“当且仅当”的理解.6. 基本不等式的应用例1:
10、已知 ,求证: ,并指出等号成立的条件.证明:方法多种,可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手,进行求证,同时也可以运用基本不等式求最值的方法;其中一种方法示范板书为:因为 ,所以 、 同号,并有 , .所以, .当且仅当 ,即 时等号成立.思考:若 ,则代数式 的取值范围是什么?设计意图:考察学生运用基本不等式时,要特别注意等号取到时的条件是否满足。例2:若 的最小值为_,此时练习2: 的最小值为_,此时设计意图:帮助学生辨识基本不等式的结构特点,以及求最值的简单运用。例3. 在周长保持不变的条件下,何时矩形的面积最大?猜想:由几何画板演示得出.解:设矩形的长、宽分别为 、 ( 、 )且 (
11、定值),则同样周长的正方形的边长为 .矩形面积,正方形面积由基本不等式2,得,又由不等式的性质得 ,即 .由题意, (定值),所以 (定值).当且仅当 ,即矩形为正方形时,矩形的面积最大.思考:例3中的 , 为什么要为定值呢?如果不是定值,面积有最大值吗?设计意图:l 通过例2和例3,先让学生通过基本不等式的运用,体验并思考“当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值;当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值”,这样在第二课时给出该结论效果会更好;l 例3也解决了情境创设环节提出的实际问题,让学生切实感受到学以致用的乐趣;7. 课堂小结lll 初步应用两个基本不等式求最值.8. 作业练习(1)2.4.1卷1(详见附录)(2)思考题l 通过查阅资料,了解这两个基本不等式其它的几何解释.l 在面积保持不变的条件下,正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系?l 整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.20 20
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