哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试理科数学试题.doc

哈尔滨市第六中学2013届高三第二次模拟考试
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，若复数为纯虚数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知，，则（ ）
（A） （B）或 （C） （D）
3．下列函数中在区间上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
（A） （B）160 （C） （D）
5．计划在个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（ ）
（A）60种 （B）42种 （C）36种 （D）24种
6．已知圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）
（A） （B） （C）2 （D）1
8．已知函数，则（ ）
（A）在时取得最小值，其图像关于点对称
（B）在时取得最小值，其图像关于点对称
（C）在单调递减，其图像关于直线对称
（D）在单调递增，其图像关于直线对称
9．已知向量，，，且，则取得最小值时，=（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．已知球的直径，是球球面上的三点， 是正三角形，且
，则三棱锥的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．已知是函数的零点，，则
①；②；③；④
其中正确的命题是（ ）
（A）①④ （B）②④ （C）①③ （D）②③
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为___________
14．已知不等式的解集为，不等式的解集为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________
15．设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为______________
16．的内角的对边长分别为，若，且，则__________
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知等比数列是递增数列，，数列满足，且（）
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若对任意，不等式总成立，求实数的最大值．

（18）（本小题满分12分）
某射击比赛规则如下，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知某射手在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是相互独立的
（1）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；
（2）若这名射手在射击比赛中得分记为，求的分布列与数学期望．

（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，，，，是以为底边的等腰三角形，平面平面，分别为棱、的中点
（1）求证：平面；
（2）若为整数，且与平面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值．

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过三点的圆的半径为2，过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．
（1）若，求的值；
（2）若，证明：．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数，，射线与曲线交于极点外的三点
（1）求证：；
（2）当时，两点在曲线上，求与的值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知均为正数
（1）证明：，并确定如何取值时等号成立；
（2）若，求的最大值．