河南省中考数学试卷答案与解析.doc

2007年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2008•株洲）计算（﹣1）3的结果是（　　）

A．
﹣1
B．
1
C．
﹣3
D．
3

考点：
有理数的乘方．菁优网版权所有
分析：
本题考查有理数的乘方运算．
解答：
解：（﹣1）3表示3个（﹣1）的乘积，
所以（﹣1）3=﹣1．
故选A．
点评：
乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．

2．（3分）（2007•河南）使分式有意义的x的取值范围为（　　）

A．
x≠2
B．
x≠﹣2
C．
x＞﹣2
D．
x＜2

考点：
分式有意义的条件．菁优网版权所有
分析：
本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，故可知x+2≠0，解得x的取值范围．
解答：
解：∵x+2≠0，
∴x≠﹣2．
故选B．
点评：
本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义．

3．（3分）（2007•河南）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）

A．
30°
B．
50°
C．
90°
D．
100°

考点：
轴对称的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析：
由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．
解答：
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；
∴∠B=180°﹣80°=100°．
故选D．
点评：
主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．

4．（3分）（2007•河南）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）
4
5
6
9
户数
3
4
2
1
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（　　）

A．
中位数是5吨
B．
众数是5吨
C．
极差是3吨
D．
平均数是5.3吨

考点：
方差；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
分析：
根据中位数的确定方法，将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的两个的平均数或最中间一个数据是中位数，众数的定义是在一组数据中出现次数最多的就是众数，极差是一组数据中最大值与最小值的差，运用加权平均数求出即可．
解答：
解：∵这10个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9；
∴中位数是：（5+5）÷2=5吨，故A正确；
∴众数是：5吨，故B正确；
∴极差是：9﹣4=5吨，故C错误；
∴平均数是：（3×4+4×5+2×6+9）÷10=5.3吨，故D正确．
故选C．
点评：
此题主要考查了极差与中位数和众数等知识，准确的记忆以上定义是解决问题的关键．

5．（3分）（2007•河南）由一些大小相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上立方体的个数，那么该几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
解答：
解：从左面看，得到左边2个正方形，中间3个正方形，右边1个正方形．
故选A．
点评：
找到从左面看所得到的图形即可．

6．（3分）（2007•河南）二次函数y=ax2+x+a2﹣1（a≠0）的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
二次函数的图象．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
采用逐一排除的方法．因为a≠0，b=1，对称轴不是y轴，排除C、D；再根据开口方向，确定a的符号及对称轴的位置，排除A．
解答：
解：∵对称轴x=﹣≠0，故对称轴不是y轴，排除C、D；
当a＞0时，对称轴x=﹣＜0，排除A；
当a＜0时，对称轴x=﹣＞0，B正确．
故选B．
点评：
应熟练掌握二次函数的图象有关性质：讨论a的取值，再利用对称轴选择答案．

二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）
7．（3分）（2007•河南）的相反数是　﹣　．

考点：
相反数．菁优网版权所有
分析：
求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解答：
解：根据相反数的定义，得的相反数是﹣．
点评：
本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

8．（3分）（2007•河南）计算：（﹣2x2）•3x4=　﹣6x6　．

考点：
单项式乘单项式．菁优网版权所有
分析：
根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
解答：
解：（﹣2x2）•3x4=﹣2×3x2•x4=﹣6x6．
点评：
本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

9．（3分）（2007•河南）写出一个图象经过点（1，﹣1）的函数的表达式　y=﹣　．

考点：
反比例函数的性质．菁优网版权所有
专题：
开放型．
分析：
根据反比例函数的性质解答．
解答：
解：设函数的解析式为y=，
把点（1，﹣1）代入得k=﹣1，
故函数的表达式y=﹣．
点评：
用待定系数法求函数解析式．

10．（3分）（2007•河南）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=　50　度．

考点：
切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．
解答：
解：连接OA，OB．
PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．

点评：
本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解．

11．（3分）（2007•河南）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm，AD=2cm，CD=4cm，则BC=　　cm．

考点：
直角梯形．菁优网版权所有
分析：
过点B作BE⊥CD，则四边形ABED是矩形，从而可得到AD，DE，CE的长，再根据勾股定理可求得BC的长．
解答：
如图，过点B作BE⊥CD，则四边形ABED是矩形，
∴AD=BE=2cm，DE=AB=1cm
∴CE=CD﹣DE=4﹣1=3cm
∴BC==cm．

点评：
本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．

12．（3分）（2007•河南）已知x为整数，且满足，则x=　﹣1，0，1　．

考点：
估算无理数的大小．菁优网版权所有
分析：
首先找到题中的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的整数的范围．
解答：
解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，1＜＜2，
∴x应在﹣2和2之间，
则x=﹣1，0，1．
故答案为：﹣1，0，1．
点评：
此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

13．（3分）（2007•河南）将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n个图形中，共有　（3n﹣2）　个正六边形．

考点：
规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
分析：
要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
解答：
解：分析可得：将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，增加了3个正六边形，共4个；再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，又增加了3个正六边形，共4+3=7个；故每次分割，都增加3个正六边形，那么第n个图形中，共有1+3（n﹣1）=3n﹣2．
点评：
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．

14．（3分）（2007•河南）如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA=3，∠1=∠2，则扇形OEF的面积为　3π　．

考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据扇形的面积公式计算即可．
解答：
解：连接BO，
∵四边形OABC为菱形，
∴AO=CO=AB=CB，
∵OEF是扇形，
∴EO=BO=FO，
∴OA=OB=OC=OF=3，
∴△ABO和△COB是等边三角形，
∴∠AOC=120°，
∵∠1=∠2，
∴∠EOF=∠AOC=120°
故扇形OEF的面积为=3π．

点评：
主要考查了扇形的面积求法．解此题的关键是能利用菱形的性质求出扇形的半径和圆心角，从而求出扇形的面积．

15．（3分）（2007•河南）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于　　．

考点：
含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
在△OCP中，由题中所给的条件可求出OP的长，根据直角三角形的性质可知，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故PD=OP．
解答：
解：如图，过C点作CE⊥OA，垂足为E，
∵PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，∴PD=CE，
∵∠AOB=60°，OC=4，
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=4×=2，
∴PD=CE=．

点评：
本题主要考查三角形的性质及计算技巧．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（2007•河南）解方程：+=3

考点：
解分式方程．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
观察可得方程最简公分母为：（x+2）（x﹣2）．方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：
解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得
3x（x﹣2）+2（x+2）=3（x+2）（x﹣2），
整理得﹣6x+2x+4=﹣12，
解得x=4．
检验：将x=4代入（x+2）（x﹣2）≠0．
∴x=4是原方程的解．
点评：
解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．

17．（9分）（2007•河南）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：△BEF≌△DGH．

考点：
全等三角形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
由三角形全等的判定定理和平行四边形的性质，结合已知条件，利用SAS判定．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD．
又∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的四边中点，
∴BE=DG，BF=DH．
∴△BEF≌△DGH．
点评：
本题重点考查了三角形全等的判定定理和平行四边形的性质的综合运用．

18．（9分）（2007•河南）下图是根据2006年某省各类学校在校生人数情况制作的扇形统计图和不完整的条形统计图．
已知2006年该省普通高校在校生为97． 41万人，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）2006年该省各类学校在校生总人数约多少万人；（精确到1万人）
（2）补全条形统计图；
（3）请你写出一条合理化建议．

考点：
条形统计图；扇形统计图．菁优网版权所有
专题：
开放型；图表型．
分析：
（1）由普通高校在校生人数和占的比例求出各类学校在校生总数；
（2）再由普通高中在校生人数占的比例求出普通高中在校生人数；补出条形统计图，可以看出成人高校人数最少，应发展成人教育；
（3）答案不唯一，回答合理即可．
解答：
解：（1）2006年该省各类学校在校生总数为
97.41÷4.87%≈2000（万人）．

（2）普通高中在校生人数约为
2000×10.08%=201.6（万人）．

（没有计算，但图形正确者可给满分）

（3）可以看出成人高校人数最少，应发展成人教育．
点评：
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19．（9分）（2007•河南）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：
张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；
王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出上个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券．
请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平？

考点：
游戏公平性．菁优网版权所有
专题：
阅读型；方案型．
分析：
本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
解答：
解：张彬的设计方案：
因为P（张彬得到入场券）=，
P（王华得到入场券）=，
因为，所以，张彬的设计方案不公平．
王华的设计方案：
可能出现的所有结果列表如下：
∴P（王华得到入场券）=P（和为偶数）=，
P（张彬得到入场券）=P（和不是偶数）=因为，
所以，王华的设计方案也不公平．
第一次
第二次
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6

点评：
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（9分）（2007•河南）如图，ABCD是边长为1的正方形，其中、、的圆心依次是A、B、C．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．

考点：
弧长的计算；直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
本题考查的是弧长公式以及全等三角形的判定求出△FDC≌△GBC．
解答：
解：（1）∵AD=1，∠DAE=90°，
∴的长，
同理，的长，的长，
所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=3π．

（2）直线GB⊥DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴∠F=∠G，
又∵∠F+∠FDC=90°，
∴∠G+∠FDC=90°，
即∠GHD=90°，
故GB⊥DF．

点评：
求出弧长后可算出周长．“化曲面为平面”．

21．（10分）（2007•河南）请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD=BC．
（1）求tan B和sinB的值；
（2）在你所画的等腰△ABC中，假设底边BC=5米，求腰上的高BE．

考点：
解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
计算题；作图题．
分析：
（1）本题可根据三角形的特殊性（等腰三角形）和AD=BC，先求出AD和BD，CD的关系，进而求出tan B和sinB的值；
（2）由于是等腰三角形，∠B=∠C，求出了sinB也就是求出了sinC，直角三角形BCE中，已知了BC的长，BE就不难求出了．
解答：
解：如图，正确画出图形，
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，
∴BD=BC=AD．即AD=2BD．
∴AB=BD．
∴tanB=，
sinB=．

（2）在Rt△BEC中，sinC=sin∠ABC=，
又∵sinC=，
∴．
故（米）．

点评：
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，只要熟练掌握这些知识点，解本题并不难．

22．（10分）（2007•河南）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？

考点：
一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题；压轴题．
分析：
（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解．
（2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价．
解答：
解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
化简得，解之得．
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．

（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400=72000（元）
从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
所以B种商品最低售价为每件1080元．
点评：
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．

23．（11分）（2007•河南）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．
解答：
解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，
设解析式为y=a（x﹣）2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得，
解得a=，k=﹣．
故抛物线解析式为y=（x﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）2﹣，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）2+25=24．
化简，得（x﹣）2=．
解得x1=3，x2=4．
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
点E1（3，﹣4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E2（4，﹣4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，﹣3），
而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
点评：
本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中．