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【2013年中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。
一、静态面积问题：
典型例题：例1：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】

　 A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【答案】 C。
【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接OD，则。
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3。
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。
又∵，∴∠DOC=60°。
∴（米2）。故选C。
例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】

A． B．2 C．3 D．
例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【 】

A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。
【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,
设A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。
∵AB：BC=(m一l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。
又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。
又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB，
∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。
∵直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，
∴，。
∴，。
将 又由AC：BC=m：1得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即
，解得。
∴
。
故选B。
例4：（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．

【答案】解：（1）6；无数。
（2）这个图形的一条面积等分线如图：

连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线。
（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：

理由如下：
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE。
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC。
∴。
∵S△ACD＞S△ABC，
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。
【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。
【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。
（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
（3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等推知S△ABC=S△AEC；由“割补法”可以求得。　
例5：（2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】
（参考数据：，π取3.14）

A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36
【答案】A。
【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。
【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为；Rt△AEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。
∴。故选A。
例6：（2012山东德州3分）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】

A．3 B．4 C． D．5
【答案】C。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。
例7：（2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是【 】

　 A． B． C．π D．3π
【答案】A。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。
【分析】∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴AB=CD。
又∵四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。∴DE=DC=AB=3。
∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE是等边三角形。∴∠C=60°。
∴扇形CDE（阴影部分）的面积为：。故选A。
例8：（2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=【 】

A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
【答案】D。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5
由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA
∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。
又∵S△DEF和S△EBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。故选D。
例9：（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.
【答案】②④。
【考点】矩形的性质，相似
【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，
∴S1+S3=S矩形ABCD；
同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。
如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，
即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。
例10：（2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于
点．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，△A1C1B的面积
记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的
面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝A3M，△A3C3B
的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．

【答案】。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。
【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C1F⊥BM于点F，
∵点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，
∴OB×DM=1。∴。
∵A1C1=A1M，即C1为A1M中点，
∴C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。
∴。
∴。
∵A2C2＝A2M，∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的。
∴。
同理可得：S3=，S4=，…
∴。
练习题：
1. （2012广东省4分）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

2. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.

3. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ▲ ，= ▲ 。

4. （2012江苏扬州3分）如图，双曲线经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　．

5. （2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．

6. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．

7. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 ▲ 。

8. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.

9. （2012辽宁营口3分）如图，直线与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与轴、轴
分别交于E、F两点，连结OA、OB，若，则 ▲ ．

10. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线上，B、D在双曲线上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，S△ABCD=24，则k1=　 ▲ 　．

二、点动形成的动态面积问题：
典型例题：例1：（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。
∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
，解得。
∴直线AC解析式为。
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线L1的解析式为。
则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，
FN=MN•cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为（，）。
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。
例2：（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600

又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
例3：（2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
例4：（2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c
经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3），
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组
，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，
若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则，
∴DP1=AD=4。∴P1。
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，连接DP2，
∵△ABO为等腰三角形,
∴△ADP2是等腰三角形。
由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。∴P2（1，2）。
（3）不存在。理由如下：
如图2设点E ，则

①当P1(－1，4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE

∴。 ∴。
∵点E在x轴下方 ∴。代入得： ,即
∵△=(－4)2－4×7=＋12<0，∴此方程无解。
∴当P1(－1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
②当P2（1，2）时，
∴。∴。
∵点E在x轴下方，∴。代入得：，即
∵△=(－4)2－4×5=－4<0，∴此方程无解。
∴当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。
（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。
（3）由（2）的两解分别作出判断。
例5：（2012湖南张家界12分）如图，抛物线与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A．点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）令y=0，即，解得。
∴C（，0）、A（，0）。
令x=0，得y=2。∴B（0，2）。
∴A（，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。
又∵点A（，0）在直线上，∴0=k1+2，解得k1=。
∴直线AB的解析式为y=x+2。
（3）由A（，0）、B（0，2）得：OA=，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=。
∴D点的横坐标为OD·cos600=，纵坐标为OD·sin600=3。
∴D（，3）。
∵过点D，∴，即k=3。
（4）存在。
∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=﹣t，
∴。
依题意， ， 得0＜t≤4。
∴当t=时，S有最大值为。
例6：（2012四川内江12分）如图，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=900，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
(3) 在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，
∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC2=OA•OB=4。
∴OC=2。∴点C（0，2）。
∵抛物线经过A、B两点，
∴设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得：
，解得。
∴抛物线的解析式：，即。
（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：
如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。
由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB。
由（1）知：，
则点M（），ME=。
而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。
又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。
∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。
（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，
则：。
过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G。
Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，
BG=BF÷sin∠BGF=。
∴G（0，0）或（8，0）。
易知直线BC：y= x+2，则可设直线l：y=x+b，
将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则：
直线l：y= x或y=x+4；
联立抛物线的解析式，得：
，或。
解得或或。
∴抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个：
。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。
【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。
（2）证明CM垂直于过点C的半径即可。
（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。
例7：（2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

【答案】解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转900得到的，
且A（0，1），B（2，0），O（0，0）
∴。
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点A′、B′、B，
∴，解之得。
∴满足条件的抛物线的解析式为。
（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设，则，P点坐标满足。
连接PB，PO，PB′。
∴

。
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，
则，即，解之得，此时。
∴P（1，2）。
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍。
（3）四边形PB′A′B为等腰梯形。它的性质有：
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；
②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；
④等腰梯形两腰相等。
答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。
【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。
【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。
（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可。
例8：（2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C
三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，
点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．

附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元
二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．
当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．
再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．
【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，∴OA=OB=AB=×2=1。
∴A的坐标是（－1，0），B的坐标是（1，0）。
在Rt△OBC中，，∴C的坐标为（0，2）。
（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，
根据题意得： ，解得： 。
∴抛物线的解析式是：。
（3）∵S△ABC=AB•OC=×2×2=2，S△ABD=S△ABC，∴S△ABD=S△ABC=1。
设D的纵坐标是m，则AB•|m|=1，∴m=±1。
当m=1时，－2x2+2=1，解得：x=±。
当m=－1时，－2x2+2=－1，解得：x=±。
∴D的坐标是：（，1）或（－，1）或（，－1），或（－，－1）。
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。
平移以后的抛物线的解析式是：。
令x=0，解得y=－2c2+2，即OC′= ＋2c2+2。
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′，
则（－2c2＋2）2=（1－c）（1＋c），即（4c2－3）（c2－1）=0。
解得：c= ，（舍去），1，－1（舍去）。
故平移 或1个单位长度。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。
【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股
定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。
（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD= S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的
纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′
同时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA•OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。
例9： （2012广西桂林12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．
(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B
时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90°， AB＝AC＝6，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 。∴AD＝BD＝DC= 。
∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（SAS）。
（2）依题意有，FC＝AE＝x，AF=6－x
∵△AED≌△CFD，
∴
∴。
∴。
（3）依题意有：FC＝AE＝x，AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°，
∴∠DAF＝∠DBE＝135° 。∴△ADF≌△BDE（SAS）。∴。
∴。
∴。
【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。
【分析】（1）由已知推出△ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。
（2）由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。
（3）由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。
例10：（2012广西玉林、防城港10分）如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.
（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，的取值范围是 ；
（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？
（3）若，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式.

【答案】解：（1）三，k＞0，
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入得；把x=2代入得。
∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）。
∴。
当k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5。
此时E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点。
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小。
（3）设D点坐标为（a，），
∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点。∴C点坐标为（2a，）。
∴A点的纵坐标为。
把y=代入得x=，∴A点坐标为（，），
又∵S△OAC=2，∴×（2a－）×=2，∴k=。
∴双曲线的解析式为。
【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限。
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入可得到A点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。
（3）设D点坐标为（a，），由得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，代入 可确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2列