2018中考数学压轴题汇编因动点产生的等腰三角形问题有答案.docx

1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2017年重庆市中考第25题 如图1，在ABC中， ACB90，BAC60，点E是BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF （1）如图1，若点H是AC的中点，AC ，求AB、BD的长； （2）如图1，求证：HFEF （3）如图2，连接CF、CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由例2 2017年长沙市中考第26题 如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2) （1）求a、b、c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交； （3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90 （1）求ED、EC的长； （2）若BP2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长例4 2017年扬州市中考第27题 如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由例5 2017年临沂市中考第26题 如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置 （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 图1例6 2017年盐城市中考第28题 如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图1 1.2因动点产生的等腰三角形问题答案 例1 2017年重庆市中考第25题 如图1，在ABC中， ACB90，BAC60，点E是BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF （1）如图1，若点H是AC的中点，AC ，求AB、BD的长； （2）如图1，求证：HFEF （3）如图2，连接CF、CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，FAE与FDH保持全等，CMF与CAE保持全等，CEF保持等边三角形的形状 思路点拨 1把图形中所有30的角都标注出来，便于寻找等角和等边 2中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了 满分解答 （1）如图3，在RtABC中，BAC60，AC ，所以AB 在RtADH中，DAH30，AH ，所以DH1，AD2 在RtADB中，AD2，AB ，由勾股定理，得BD （2）如图4，由DAB90，BAC60，AE平分BAC，得DAE60， DAH30 在RtADE中，AE 在RtADH中，DH 所以AEDH 因为点F是RtABD的斜边上的中线，所以FAFD，FADFDA 所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF 图3 图4 图5 （3）如图5，作FMAB于M，联结CM 由FM/DA，F是DB的中点，得M是AB的中点 因此FM ，ACM是等边三角形 又因为AE ，所以FMEA 又因为CMCA，CMFCAE30，所以CMFCAE 所以MCFACE，CFCE 所以ECFACM60所以CEF是等边三角形 考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉 如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合 图6 图7 如图8，图9，点E落在BC边上如图10，图11，等腰梯形ABEC例2 2017年长沙市中考第26题 如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2) （1）求a、b、c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交； （3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在三种情况思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值 2等腰三角形AMN存在三种情况，其中MAMN和NANM两种情况时，点P的纵坐标是相等的满分解答 （1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0 将 代入yax2，得 解得 （舍去了负值） （2）抛物线的解析式为 ，设点P的坐标为 已知A(0, 2)，所以 而圆心P到x轴的距离为 ，所以半径PA圆心P到x轴的距离 所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交 （3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN 在RtPMH中， ， ，所以MH24 所以MH2因此MN4，为定值 等腰AMN存在三种情况： 如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0 图2 图3 如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2 此时xOH2 所以点P的纵坐标为 如图5，当NANM时，点P的纵坐标为也为 图4 图5 考点伸展 如果点P在抛物线 上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切这是因为： 设点P的坐标为 已知B(0, 1)，所以 而圆心P到直线y1的距离也为 ，所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90 （1）求ED、EC的长； （2）若BP2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况 请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况 思路点拨 1第（2）题BP2分两种情况 2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系 3第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ 满分解答 （1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10 在RtCDE中，CD5，所以 ， （2）如图2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是 ABC的两条中位线，DM4，DN3 由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN 因此PDMQDN 所以 所以 ， 图2 图3 图4 如图3，当BP2，P在BM上时，PM1 此时 所以 如图4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5 此时 所以 （3）如图5，如图2，在RtPDQ中， 在RtABC中， 所以QPDC 由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ 因此PDFCDQ 当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形 如图5，当CQCD5时，QNCQCN541（如图3所示） 此时 所以 如图6，当QCQD时，由 ，可得 所以QNCNCQ （如图2所示） 此时 所以 不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图5，图6所示） 图5 图6 考点伸展 如图6，当CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解 例4 2017年扬州市中考第27题 如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线思路点拨 1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小 2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)， 代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1 所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3 （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1 当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H 由 ，BOCO，得PHBH2 所以点P的坐标为(1, 2) 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1, )、(1, )或(1,0) 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m) 在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2 如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1 此时点M的坐标为(1, 1) 如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得 此时点M的坐标为(1, )或(1, ) 如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)例5 2017年临沂市中考第26题 如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置 （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，O和B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线 请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨 1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验 2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起 满分解答 （1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C 在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2， 所以点B的坐标为 （2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)， 代入点B ， 解得 所以抛物线的解析式为 （3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y) 当OPOB4时，OP216所以4+y216解得 当P在 时，B、O、P三点共线（如图2） 当BPBO4时，BP216所以 解得 当PBPO时，PB2PO2所以 解得 综合、，点P的坐标为 ，如图2所示 图2 图3 考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形 由 ，得抛物线的顶点为 因此 所以DOA30，ODA120例6 2017年盐城市中考第28题 如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图1动感体验 请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，APR的面积有一个时刻等于8观察APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在APAQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，APQ是等腰三角形思路点拨 1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题 2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能 3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答 （1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4) 令 ，得 所以点B的坐标是(7，0) （2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由 ，得 整理，得 解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6 因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8 图2 图3 图4 我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4 如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7， ，所以OBAB因此OABAOBB 如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴 因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7 在APQ中， 为定值， ， 如图5，当APAQ时，解方程 ，得 如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程 ，得 如7，当PAPQ时，那么 因此 解方程 ，得 综上所述，t1或 或5或 时，APQ是等腰三角形 考点伸展 当P在CA上，QPQA时，也可以用 来求解20 20