Monoidal_Hom-...m-Hopf代数的可裂扩张_李敏.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 1-5 3 3 7.2 0 2 3.3.0 2 1*收稿日期:2 0 2 2-0 6-2 5基金项目:国家自然科学基金(1 2 2 7 1 2 9 2);山东省自然科学基金(Z R 2 0 2 2 MA 0 0 2).第一作者:李敏,女,1 9 9 6-,硕士;研究方向:H o p f代数;E-m a i l:1 1 9 1 2 8 4 9 7 6q q.c o m.通信作者:陈全国,男,1 9 8 0-,副教授,硕士生导师;研究方向:H o p f代数;E-m a i l:c q g 2 1 11 6 3.c o m.M o n o i d a lH o m-u n i f i e d积与m o n o i d a lH o m-H o p f代数的可裂扩张*李 敏,张腾月,陈全国(安丘市第二中学,2 6 2 1 0 0,安丘市;曲阜师范大学经济学院,2 7 6 8 2 6,日照市;曲阜师范大学数学科学学院,2 7 3 1 6 5,山东省曲阜市)摘要:从m o n o i d a lH o m-H o p f代数的分裂扩张的观点出发,对m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积进行等价刻画,即一个m o n o i d a lH o m-H o p f代数(E,)同构于一个m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积(AH,)当且仅当存在一个可裂单的m o n o i d a lH o m-H o p f代数同态i:(A,)(E,).关键词:m o n o i d a lH o m-H o p f代数;m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积;可裂单态射中图分类号:O 1 5 3.3 文献标识码:A 文章编号:1 0 0 1-5 3 3 7(2 0 2 3)0 3-0 0 2 1-0 40 引言及预备知识H o m-代数的概念是由M a k h l o u f等介绍1,通过引入,对结合代数的结合性进行变换,成为线性变换的结合条件,即(a)(b c)=(a b)(c).随后引起学者们对H o m-代数的研究,并相继的引入了H o m-双代数、H o m-H o p f代数等.C a e n e p e e l等提出了m o n o i d a lH o m-H o p f代数的概念2,它为经典的H o m型代数提供了范畴上的解释.很多H o p f代数上的经典结果都可以推广到m o n o i d a lH o m-H o p f代数上3-6.为了解决H o p f代数的扩张结构问题,A g o r e等提出了限制的扩张结构问题,并给出了u n i f i e d积的概念,又研究了u n i f i e d积与H o p f代数的可裂扩张之间的关系7,8.基于A g o r e等的思想,限制的H o m型扩张结构问题在文献9 被提出,通过引入了m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积的概念,得到如下结论:一个m o n o i d a lH o m-H o p f代数(E,)通过一个m o n o i d a lH o m-H o p f子代数(A,|A)与一个m o n o i d a lH o m-H o p f子余代数(H,|H)分解,且使得1E(H,|H)当且仅当(E,)同构于一个m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积(AH,|A|H).本文在上述研究的基础上,进一步研究m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积与可裂扩张之间的关系.本文所有的向量空间、张量积以及态射都是定义在基础域K上的.对于余代数C,采用S w e e d l e r记号(c)=c(1)c(2),这里省略求和符号.1 主要结果本节从可裂扩张的角度对m o n o i d a lH o m-u n i f i e d积进行等价刻画.对任意的m o n o i d a lH o m-双代数同态i:(A,)(E,),(E,)可以通过i做成一个左(A,)-H o m-模,即(AE,)(E,),ax=i(a)x,aA,xE.定义1 设(A,)与(E,)为2个m o n o i d a lH o m-双代数,:(E,)(A,)为m o n o i d a lH o m-余代数同态.第4 9卷 第3期2 0 2 3年7月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l.4 9 N o.3J u l y2 0 2 3 称态射是正规的(n o r m a l),若空间 x(E,)|(x(1)x(2)=1A-1(x)是(E,)的子余代数.下面给出m o n o i d a lH o m-双代数扩张(A,)(AH,)的一些性质.命题1 设(A,)是一个m o n o i d a lH o m-双代数,(A)=(H,),f)是(A,)的一个m o n o i d a lH o m-双代数扩张结构.对任意aA,hH,有k-线性映射iA:(A,)(AH,),iA(a):=-1(a)1H,A:(AH,)(A,),A(a h):=H(h)(a).则如下结论成立:(1)iA是一个m o n o i d a lH o m-双代数同态,A是一个正规的左(A,)-H o m-模余代数同态,且AiA=i dA;(2)A是一个右(A,)-H o m-模同态当且仅当作用是平凡映射;(3)A是一个m o n o i d a lH o m-双代数同态当且仅当作用和余循环f都是平凡映射.证明(1)易证,iA是一个m o n o i d a lH o m-双代数同态,A是一个m o n o i d a lH o m-余代数同态.下证是A正规态射.事实上,子空间N:=iaihiAH|iH(hi(1)(ai(1)ai(2)hi(2)=i1A-1(ai)-1(hi)是(AH,)的一个子余代数.将i dAA作用到等式iH(hi(1)(ai(1)ai(2)hi(2)=i1A-1(ai)-1(hi)两端得iH(hi(1)(ai(1)A(ai(2)(hi(2)=i1AA(-1(ai)hi,即iaihi=i1AA(ai)hi=1AiA(ai)hi.而任意1Ah1AH,有1AhN.从而N=1AH为AH的子余代数,由定义1,A是正规的.再证A是一个左(A,)-H o m-模同态.任意a,cA,hH,有A(a(c h)=A(iA(a)(c h)=A(-1(a)1H)(c h)=A(-1(a)c(h)=H(h)a(c)=a H(h)(c)=a A(c h).又因为A(a)(h)=A(a h),故A是一个左(A,)-H o m-模同态.(2)由(1)知A(a)(h)=A(a h);A(a h)c)=A(a h)iA(c)=A(a h)(-1(c)1H)=A(a(h(1)-1(c(1)(h(2)c(2)=(a)(h(1)c(1)H(h(2)A(a(2)=(a)(h-1(c).A(a h)c=(a)H(h)c,故A是一个右(A,)-H o m-模同态当且仅当A(a h)c)=A(a h)c当且仅当(a)(h-1(c)=(a)H(h)c当且仅当hc=H(h)(c),a,cA,hH.i.e.作用是平凡的.(3)同理可证,A是一个m o n o i d a lH o m-双代数同态当且仅当A(a h)(c g)=A(a h)A(c g)当且仅当(a)(h(1)c(1)f(-1(h(2)-1(c(2),-1(g)=(a)H(h)(c)H(g)当且仅当hc=H(h)(c),f(hc,g)=H(h)A(c)H(g)1A,a,cA,hH.i.e.作用和余循环f都是平凡的.下面给出本节的主要结论.定理1 设(A,)与(E,)均为m o n o i d a lH o m-H o p f代数,i:(A,)(E,)为m o n o i d a lH o m-H o p f22 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年代数同态,使得存在一个正规的左(A,)-H o m-模余代数同态:(E,)(A,),满足i=i dA.令H:=xE|(x(1)x(2)=1A-1(x).则存在(A,)的一个m o n o i d a lH o m-双代数扩张结构(A)=(H,|H),f),使得:(AH,|H)(E,),(a h)=i(a)x,aA,hH为m o n o i d a lH o m-H o p f代数同构,其中(H,|H)上的乘法、作用、余循环f分别由如下公式给出hg:=i(SA(h(1)g(1)(h(2)g(2),ha:=i(SA(h(1)i(a(1)(h(2)i(a(2),f(h,g):=(h g),ha:=(h i(a),h,gH,aA.证明 易证1EH.事实上,因为是正规态射,由定义1知(H,|H)是(E,)的一个子余代数.又因为(1E)=(i(1A)=1A,故(1E)1E=1A1E=1A-1(1E),即1EH.注意到,(E,)是一个左-左(A,)-H o m-H o p f模,其模结构为ax:=i(a)x,(x)=xx:=(x(1)x(2),aA,xE.下面验证m o n o i d a lH o m-H o p f模的兼容性条件.任意aA,xE,有(ax)=(i(a)x)=(i(a(1)x(1)i(a(2)x(2)=(a(1)x(1)a(2)x(2)=a(1)(x(1)a(2)x(2)=a(1)xa(2)x,故(E,)是一个左-左(A,)-m o n o i d a lH o m-H o p f模.同时注意到H=Ec o(A)=xE|(x)=(x(1)x(2)=1A-1(x).由H o m-H o p f模基本定理3,可得态射:(AH,|H)(E,),(ah):=ah=i(a)h,aA,hH是同构,其逆为-1:(E,)(AH,|H),-1(x):=xSA(x)x=(x(1)i(SA(x(2)(1)x(2)(2),xE.(1)因此,一个m o n o i d a lH o m-H o p f代数(E,)可以通过一个m o n o i d a lH o m-H o p f代数(A,)(i(A),|i(A)与一个子余代数(H,|H)分解.再由文献9 中定理3.6可以得到,存在(A,)的一个双代数扩张结构(H,|H),f),使得:(AH,|H)(E,),(ah):=ah=i(a)h,aA,hH为m o n o i d a lH o m-H o p f代数同构.最后由文献9 中定理3.6与式(1)可得、f的具体形式为ha=rA(i dH)-1(h i(a)=rA(i dH)(h(1)i(a(1)i(SA(h(2)(1)i(a(2)(1)(h(2)(2)i(a(2)(2)=rA(h(1)i(a(1)H(h(2)(1)A(a(2)(1)H(h(2)(2)A(a(2)(2)=rA(h(1)i(a(1)H(h(2)A(a(2)=rA(-1(h)i(-1(a)=(-1(h)i(-1(a)=(h i(a),ha=lH(Ai d)-1(h i(a)=lH(Ai d)(h(1)i(a(1)i(SA(h(2)(1)i(a(2)(1)(h(2)(2)i(a(2)(2)=lH(H(h(1)A(a(1)i(SA(h(2)(1)i(a(2)(1)(h(2)(2)i(a(2)(2)=H(h(1)A(a(1)i(SA(h(2)(1)i(a(2)(1)(h(2)(2)i(a(2)(2)=H(h(1)(1)A(a(1)(1)i(SA(h(1)(2)i(a(1)(2)(h(2)i(a(2)=i(SA(h(1)i(a(1)(h(2)i(a(2),32第3期 李敏,等:M o n o i d a lH o m-u n i f i e d积与m o n o i d a lH o m-H o p f代数的可裂扩张 hg=lH(Ai d)-1(h g)=lH(Ai d)(h(1)g(1)i(SA(h(2)(1)g(2)(1)(h(2)(2)g(2)(2)=lH(H(h(1)H(g(1)i(SA(h(2)(1)g(2)(1)(h(2)(2)g(2)(2)=H(h(1)H(g(1)i(SA(h(2)(1)(g(2)(1)(h(2)(2)(g(2)(2)=H(h(1)(1)H(g(1)(1)i(SA(h(1)(2)(g(1)(2)(h(2)g(2)=i(SA(h(1)g(1)(h(2)g(2),f(h,g)=rA(i dH)-1(h g)=rA(i dH)(h(1)g(1)i(SA(h(2)(1)g(2)(1)(h(2)(2)g(2)(2)=rA(h(1)g(1)H(h(2)(1)H(g(2)(1)H(h(2)(2)H(g(2)(2)=(h(1)(g(1)H(h(2)H(g(2)=(h g),aA,h,gH.注意到,上述定理是命题1中(1)的逆命题.参考文献:1MAKHL OU FA,S I L V E S T R OVS.H o m-a l g e b r a s a n dH o m-c o a l g e b r a sJ.J o u r n a l o fA l g e b r a a n d I t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 0,9(4):5 5 3-5 8 9.2C A E N E P E E LS,G OYVA E R T SI.M o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a sJ.C o mm u n i c a t i o n s i nA l g e b r a,2 0 1 1,3 9(6):2 2 1 6-2 2 4 0.3L I UL,S HE NBL.R a d f o r dsb i p r o d u c t sa n dY e t t e r-D r i n f e l dm o d u l e sf o rm o n o i d a lH o m-H o p fa l g e b r a sJ.J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,2 0 1 4,5 5(3):7 0 1-7 2 5.4GUOSJ,Z HAN GXH,W a n gSH.B r a i d e dm o n o i d a l c a t e g o r i e sa n dD o i-H o p fm o d u l e s f o rm o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a sJ.C o l l o q u i u m M a t h e m a t i c u m,2 0 1 6,1 4 3(1):7 9-1 0 3.5CHE NY Y,Z HANGLY.T h ec a t e g o r yo fY e t t e r-D r i n f e ldH o m-m o d u l e sa n dt h eq u a n t u m H o m-Y a n g-B a x t e re q u a t i o nJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,2 0 1 4,5 5(3):1 4 8 3-1 4 9 1.6YAUD.H o m-b i a l g e b r a sa n dc o m o d u l eH o m-a l g e b r a sJ.I n t e r n a t i o n a lE l e c t r o n i cJ o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 1 0,8:4 5-6 4.7A G OR E A L,M I L I TA R U G.U n i f i e dp r o d u c t sa n ds p l i te x t e n s i o n so fH o p fa l g e b r a sJ.C o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c s,2 0 1 2,5 8 5:1-1 5.8AG O R EAL,M I L I T A R UG.E x t e n d i n gs t r u c t u r e s I I:T h eq u a n t u mv e r s i o nJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 1 1,3 3 6(1):3 2 1-3 4 1.9成文静.限制的H o m型扩张结构D.曲阜:曲阜师范大学,2 0 2 0.M o n o i d a lH o m-u n i f i e dp r o d u c t s a n d s p l i t e x t e n s i o n s o fm o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a sL IM i n,ZHANGT e n g y u e,CHENQ u a n g u o(A n q i u2 t hM i d d l eS c h o o l,2 6 2 1 0 0,A n q i u;S c h o o l o fE c o n o m i c s,Q u f uN o r m a lU n i v e r s i t y,2 7 6 8 2 6,R i z h a o;S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,Q u f uN o r m a lU n i v e r s i t y,2 7 3 1 6 5,Q u f u,S h a n d o n g,P R C)A b s t r a c t:W ep r o v ea ne q u i v a l e n td e s c r i p t i o no f t h em o n o i d a lH o m-u n i f i e dp r o d u c t s f r o mt h ep o i n to fv i e wo f s p l i tm o r p h i s m so fm o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a s,i.e.,am o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a(E,)i s i s o-m o r p h i c t oam o n o i d a lH o m-u n i f i e dp r o d u c t(AH,)i fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sas p l i tm o n o m o r-p h i s mo fm o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a si:(A,)(E,).K e yw o r d s:m o n o i d a lH o m-H o p f a l g e b r a;m o n o i d a lH o m-u n i f i e dp r o d u c t;s p l i tm o r p h i s m42 曲阜师范大学学报(自然科学版)2 0 2 3年