元二次方程的概念市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一元二次方程概念一元二次方程概念一元二次方程解法一元二次方程解法一元二次方程根判别式一元二次方程根判别式一元二次方程根与系数关系一元二次方程根与系数关系用一元二次方程处理实际问题用一元二次方程处理实际问题一一元元二二次次方方程程复复习习第1页只含有只含有 ，而且都能够化，而且都能够化 成成这么方程叫做一元二次方程这么方程叫做一元二次方程把把axbxc(a，b，c为常数为常数,a)称为一元称为一元二次方程普通形式，其中二次方程普通形式，其中ax，bx，c分别称为二分别称为二次项、一次项和常数项，次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数分别称为二次项系数和一次项系数和一次项系数一个未知数一个未知数x整式方程整式方程axbxc(a，b，c为常数为常数,a)形式，形式，一.相关概念第2页例1.以下方程中，关于x一元二次方程有：1、x2=0，2、ax2+bx+c=0，3、x23=x，4、a2+ax=0，5、(m1)x2+4x+5=0，7、(x+1)2=x29（）A、2个 B、3个 C、4个D、5个A 例题观赏例题观赏6、x2+第3页 关于关于关于关于x x x x方程方程方程方程 是一元二次方程，则是一元二次方程，则是一元二次方程，则是一元二次方程，则a=_a=_a=_a=_ 认真想一想认真想一想【变式训练】【变式训练】3且且分析：分析：例例2：已知方程：已知方程 是关于是关于x一元一元二次方程，则二次方程，则m=_ 分析：分析：第4页2、利用方程解定义：、利用方程解定义：例例3、若关于、若关于x一元二次方程一元二次方程一个根是一个根是1，求，求p值。值。依据方程解定义将依据方程解定义将x=1代入原方程，解之得代入原方程，解之得 第5页例例4、关于一元二次方程、关于一元二次方程 ，若有一个根为若有一个根为2，求另一个根和求另一个根和t值。值。分析：此例已知方程一个根，利用这个分析：此例已知方程一个根，利用这个根，先确定根，先确定t值，再求另一个根。值，再求另一个根。第6页解：022222=+=tx代入方程得：把例例4、关于一元二次方程、关于一元二次方程 ，若有一个根为若有一个根为2，求另一根及，求另一根及t 第7页3、已已知知：方方程程x25x5=0一一个个根根为为m，求求m 值值.解：解：m是是x2-5x+5=0根根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+=5第8页二二.一元二次方程解法一元二次方程解法 1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法1.把方程化成一元二次方程普通形式把方程化成一元二次方程普通形式2.把二次项系数化为把二次项系数化为13.把含有未知数项放在方程左边，不含未知数项放把含有未知数项放在方程左边，不含未知数项放 在方在方程右边。程右边。4.方程两边同加上一次项系数二分之一平方方程两边同加上一次项系数二分之一平方5.方程左边化成完全平方形式，方程右边化成非负数方程左边化成完全平方形式，方程右边化成非负数6.利用直接开平方方法去解利用直接开平方方法去解第9页二二.一元二次方程解法一元二次方程解法 1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法1.把方程化成一元二次方程普通形式把方程化成一元二次方程普通形式2.写出方程各项系数写出方程各项系数3.计算出计算出b2-4ac值，看值，看b2-4ac值与值与0关系，若关系，若b2-4ac0，则此方程没有实数根，则此方程没有实数根。4.当当b2-4ac0时，时，代入求根公式代入求根公式 计算出方程值计算出方程值 第10页二二.一元二次方程解法一元二次方程解法 1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法4.4.因式分解法因式分解法1.移项，使方程右边为移项，使方程右边为0。2.利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解乘法对左边进行因式分解 3.令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。4.解这两个一元一次方程，它们解就是原方程解。解这两个一元一次方程，它们解就是原方程解。第11页本章主要方法和公式本章主要方法和公式因式分解法基本步骤因式分解法基本步骤（1 1）将方程变形，使方程右边为零；）将方程变形，使方程右边为零；）将方程变形，使方程右边为零；）将方程变形，使方程右边为零；（2 2 2 2）将方程左边因式分解；）将方程左边因式分解；）将方程左边因式分解；）将方程左边因式分解；（3 3 3 3）依据若）依据若）依据若）依据若A A A A B=0B=0B=0B=0，则，则，则，则A=0A=0A=0A=0或或或或B=0B=0B=0B=0，将解一元二次方程转，将解一元二次方程转，将解一元二次方程转，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程；化为解两个一元一次方程；化为解两个一元一次方程；化为解两个一元一次方程；开平方法：开平方法：第12页本章主要方法和公式本章主要方法和公式配方法解方程基本步骤配方法解方程基本步骤把把二次项系数二次项系数化为化为1(方程两边同时除以二次项系数方程两边同时除以二次项系数a)把常数项移到方程把常数项移到方程右边右边;把方程左边配成一个把方程左边配成一个完全平方式完全平方式;利用利用开平方法开平方法求出原方程两个解求出原方程两个解.一除、二移、三配、四开平方、五解一除、二移、三配、四开平方、五解.配方法：配方法：公式法：公式法：1 1、把方程化成普通形式，并写出、把方程化成普通形式，并写出a a，b b，c c值值.3、代入求根公式、代入求根公式:4、写出方程、写出方程x1，x2 值值 一化、二求、三代、四解一化、二求、三代、四解 第13页(1)(1)(2)(3)(4)(5)例题观赏例题观赏例例1、以下方程应选取哪种方法求解、以下方程应选取哪种方法求解第14页例例6、解以下方程、解以下方程（1）x2=0（2）第15页解：解：（1）x1=x2=0（2）第16页注意：注意：第（第（1）题轻易解得）题轻易解得x=0这一个解；这一个解；第（第（2）题若方程两边都除以）题若方程两边都除以x6，得：，得：x=2，则原方程少了一个解，原因是，则原方程少了一个解，原因是在除以在除以 。故。故此种做法不可取，应防止在方程两边都此种做法不可取，应防止在方程两边都除以一个代数式。除以一个代数式。第17页例例7、用指定方法解以下方程：、用指定方法解以下方程：（1）直接开平方直接开平方法法（2）配配方法方法（3）公公式法式法（4）因式分解因式分解法法第18页（1）直接开平方法直接开平方法解：解：两边开平方两边开平方 第19页（2）配方法配方法 解：解：23032=+-xx第20页用配方法解一元二次方程要注意两点：用配方法解一元二次方程要注意两点：首先将二次项系数变为首先将二次项系数变为1；方程两边各加上一次项系数二分方程两边各加上一次项系数二分之一平方，这是配方法关键一步，方程之一平方，这是配方法关键一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程解数时，用开平方法即可求得方程解 第21页（3）公式公式法法 解：解：第22页（4）因式分解法因式分解法 解：解：第23页 利用因式分解法时，首先应将右利用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程左边，使方程右边为边各项移到方程左边，使方程右边为；然后再将方程左边式子分解因式，；然后再将方程左边式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公式、完借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。全平方公式等来分解因式。第24页例2、用不一样方法解方程 x-6=5x 第25页火眼金睛火眼金睛1 1、选择适当方法解以下方程：、选择适当方法解以下方程：（1 1）(x+1)(x+1)2 2=4 =4 （2 2）x xx(x(x x)（3 3）(x+1)(2x(x+1)(2x1)=51)=5 （4 4）（）（y+1y+1）2 2+2+2（y+1y+1）+1=0+1=0第26页 一元二次方程根判别式一元二次方程根判别式 两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程 根判式是:判别式情况根情况定理与逆定理两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)三三、第27页例例1：不解方程，判别以下方程根情况：不解方程，判别以下方程根情况（1）（3）（2）解：解：（1）=所以，原方程有两个不相等实根。所以，原方程有两个不相等实根。说明说明：解这类题目时，普通要先把方程化为普通形式，求出，然后对进行计算，使符号明朗化，进而说明符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程根情况 例题观赏例题观赏第28页例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x方程：方程：（1）方程有两个不相等实根；（）方程有两个不相等实根；（2）方程有两个相等实根；（）方程有两个相等实根；（3）方）方程无实根；程无实根；解：解：=(1).当当0，方程有两个不相等实根方程有两个不相等实根,8k+9 0,即即 (2).当当=0，方程有两个相等实根方程有两个相等实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0，方程有没有实数根方程有没有实数根,8k+9 03、证实方程根情况说明：说明：这类题目要先把方程化成普通形式，再计算出，假如不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方形式，依据完全平方非负性，判断情况，从而证实出方程根情况第31页四、一元二次方程根与系数关系四、一元二次方程根与系数关系以两个数以两个数x1、x2为根一元二次方程（二次项系为根一元二次方程（二次项系数为数为1）是）是 第32页设设 x1、x2是以下一元二次方程两个根，填写下表是以下一元二次方程两个根，填写下表 x1 x2 x1+x2一元二次方程56第33页解：设方程另一个根为x1，那么 例题观赏例题观赏第34页例例2、利用根与系数关系，求一元二次方程、利用根与系数关系，求一元二次方程 两个根；（两个根；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和解：设方程两个根是解：设方程两个根是x1 x2，那么，那么 例题观赏例题观赏第35页五五.实际问题实际问题 面积问题面积问题 动点运动问题动点运动问题 增加率问题增加率问题 商品利润问题商品利润问题第36页例例1 1、泉生中学为美化校园，准备在长、泉生中学为美化校园，准备在长32m32m，宽，宽20m20m长方长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参加图纸设计，要求草坪面积为下面请同学们共同参加图纸设计，要求草坪面积为540m540m2 2求出设计方案中道路宽分别为多少米？求出设计方案中道路宽分别为多少米？3220答：道路宽为答：道路宽为1 1米。米。设计方案图纸为如图，草坪总面积设计方案图纸为如图，草坪总面积540m540m2 2长方形面积长方形面积=长长宽宽解：设道路宽为解：设道路宽为 m,m,则草坪长为则草坪长为 m m，宽为，宽为 m m，由，由题意得：题意得：解得解得 （不合题意舍去）（不合题意舍去）例题观赏例题观赏第37页分析：利用分析：利用“图形经过平移图形经过平移”，它面积大小不会改变道理，它面积大小不会改变道理，把纵横两条路平移一下把纵横两条路平移一下设计方案图纸为如图，设计方案图纸为如图，草坪总面积草坪总面积540m540m2 2答：道路宽为答：道路宽为2 2米。米。3220解：设道路宽为解：设道路宽为 米，依据题意米，依据题意得，得，化简，得化简，得解得解得 1 12 2，2 25050（不合题意舍去）（不合题意舍去）第38页设计方案图纸为如图设计方案图纸为如图，草坪总面积，草坪总面积540m540m2 23220解：设道路宽为解：设道路宽为 m m，则草坪长为，则草坪长为 m m，宽为，宽为 m m，由题意，由题意得：得：第39页例例2：学校要建一个面积为150平方米长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长教学楼后墙，另三边利用总长为35米铁围栏围成，求自行车棚长和宽.第40页第41页相关相关“动点动点”运动问题运动问题”1)1)关键关键 以静代动以静代动把动点进行转换把动点进行转换,变为线段长度变为线段长度,2)2)方法方法 时间变旅程时间变旅程 求求“动点运动时间动点运动时间”能够转化为求能够转化为求“动点运动点运动旅程动旅程”，也是求线段长度，也是求线段长度;由此由此,学会把动点问题转化为静点问题学会把动点问题转化为静点问题,是解这类是解这类问题关键问题关键.3 3）常找）常找数量关系数量关系面积，勾股定理，相面积，勾股定理，相同三角形等；同三角形等；第42页例例1：如图，在：如图，在RtABC中，中，C=90。点。点P，Q同时由同时由A，B两点出发分别沿两点出发分别沿AC，BC方向向点方向向点C匀速移动，它们速度都是匀速移动，它们速度都是1m/s。几秒后。几秒后PCQ面面积为积为RtABC面积二分之一？面积二分之一？ABCPQ8m6m解：设解：设 秒后后秒后后PCQ面积面积为为RtABC面积二分之一面积二分之一依据题意，得方程：依据题意，得方程：（8-）（）（6-）=8 6解这个方程，得：解这个方程，得：（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：答：2秒后秒后PCQ面积为面积为RtABC面积二分之一。面积二分之一。第43页例例2：在矩形：在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开始开始以以1cm/s速度沿速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s速度沿速度沿BC边向点边向点C移动移动,假如假如P、Q分别从分别从A、B同同时出发，几秒后时出发，几秒后 PBQ面积等于面积等于8cm2？解：设解：设x秒后秒后 PBQ面积等于面积等于8cm2依据题意，得依据题意，得整理，得整理，得解这个方程，得解这个方程，得所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ面面积等于积等于8cm2第44页勇攀高峰勇攀高峰1 1、如图，在、如图，在 ABCD ABCD中，对角线中，对角线ACBCACBC，AC=BC=2AC=BC=2，动点，动点P P从点从点A A出发沿出发沿ACAC向终点向终点C C移动，过点移动，过点P P分别作分别作PMABPMAB交交BCBC于于M M。PNADPNAD交交DCDC于于N N，连接，连接AMAM，设，设AP=xAP=x。（1 1）四边形）四边形PMCNPMCN形状有可能是菱形吗？请说明理由。形状有可能是菱形吗？请说明理由。（2 2）当）当x x为何值时，四边形为何值时，四边形PMCNPMCN面积与面积与ABMABM面积相等？面积相等？DBMCNAP第45页2 2、已知：如图，、已知：如图，ABCD ABCD中，中，AB=4AB=4，AD=6AD=6，BCBC边上高边上高AE=2AE=2，动点动点P P从点从点A A出发，在线段出发，在线段ADAD上以每秒上以每秒1 1个单位速度向点个单位速度向点D D运运动，同时动点动，同时动点Q Q也从点也从点C C出发，在线段出发，在线段BCBC上以每秒上以每秒2 2个单位长个单位长度速度向点度速度向点B B运动，当点运动，当点Q Q运动到点运动到点B B时，点时，点P P随之停顿运动。随之停顿运动。连接连接AQAQ、PQPQ、PCPC。设运动时间为。设运动时间为t t（秒）。（秒）。(1)(1)当运动时间为当运动时间为1.51.5秒时，求出秒时，求出ABMABM面积。面积。(2)(2)用含用含t t代数式来表示代数式来表示PCQPCQ面积。面积。(3)(3)当当t t为何值时，为何值时，P P、Q Q两点间距离为两点间距离为？EBCAPDQE第46页 3 3、以下列图，、以下列图，AOAOBOBO50cm50cm，OCOC是一条射线，是一条射线，OCABOCAB，一只蚂蚁由点，一只蚂蚁由点A A以以2cm/s2cm/s速度向点速度向点B B爬行，同时另一只爬行，同时另一只蚂蚁由点蚂蚁由点O O以以3cm/s3cm/s速度沿速度沿OCOC方向爬行，几秒后两只蚂蚁方向爬行，几秒后两只蚂蚁所在位置与点所在位置与点O O组成三角形面积为组成三角形面积为450cm450cm2 2?1010秒、秒、1515秒、秒、3030秒秒第47页95年数量为年数量为A，97年数量为年数量为B，经过两个，经过两个时间单位，求增加率时间单位，求增加率x。A95年年A(1+x)96年年A(1+x)297年年A(1+x)2=B增加率问题增加率问题第48页w例例1：学校图书馆去年年底有图书：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年万册，预计到明年年底增加到年底增加到7.2万册万册.求这两年年平均增加率求这两年年平均增加率.基数平均增加率年底数量去年5今年5x5(1+x)明年5(1+x)x 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2.w分析分析:w相等关系相等关系:经过两年平均增加后图书经过两年平均增加后图书=7.2万册万册.例题观赏例题观赏第49页w例例1：学校图书馆去年年底有图书：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年万册，预计到明年年底增加到年底增加到7.2万册万册.求这两年年平均增加率求这两年年平均增加率.例题观赏例题观赏第50页例例2：某药品经两次降价，零售价降为原来二分之一：某药品经两次降价，零售价降为原来二分之一.已知已知两次降价百分率一样，求每次降价百分率两次降价百分率一样，求每次降价百分率.（准确到（准确到0.1%）解：设原价为解：设原价为1个单位，每次降价百分率为个单位，每次降价百分率为 x.依据题意，得依据题意，得 解这个方程，得解这个方程，得 答：每次降价百分率为答：每次降价百分率为29.3%.第51页驶向胜利彼岸相关利润知识基本知识相关利润知识基本知识l商品利润=售价-进价；第52页例1：新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均天天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均天天能多售4台.商场要想使这种冰箱销售利润平均天天到达5000元,每台冰箱定价应为多少元?例题观赏例题观赏第53页例1：新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均天天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均天天能多售4台.商场要想使这种冰箱销售利润平均天天到达5000元,每台冰箱定价应为多少元?例题观赏例题观赏第54页列方程解应用题普通步骤是列方程解应用题普通步骤是:1.审审:审清题意审清题意:已知什么已知什么,求什么求什么?已已,未知之间有什么未知之间有什么关系关系?2.设设:设未知数设未知数,语句要完整语句要完整,有单位有单位(同一同一)要注明单位要注明单位;3.列列:列代数式列代数式,列方程列方程;4.解解:解所列方程解所列方程;5.验验:是否是所列方程根是否是所列方程根;是否符合题意是否符合题意;6.答答:答案也必需是完事语句答案也必需是完事语句,注明单位且要贴近生活注明单位且要贴近生活.列方程解应用题关键是列方程解应用题关键是:找出相等关系找出相等关系.第55页实际问题实际问题设未知数，列方程设未知数，列方程数学问题数学问题解方程解方程配方法配方法配方法配方法公式法公式法公式法公式法因式分解法因式分解法因式分解法因式分解法降降次次数学问题解数学问题解检检 验验实际问题答案实际问题答案 本章知识结构图本章知识结构图第56页例例10、我们知道：对于任何实数，、我们知道：对于任何实数，x20，x2+10；0，+0模仿上述方法解答下面问题。模仿上述方法解答下面问题。第57页（1）对于任何实数）对于任何实数x，都有：，都有：0；（2）不论）不论x为何实数，多项式为何实数，多项式 值总大于值总大于 值。值。求证：求证：第58页解：解：（1）2x2+4x+3=2(x+1)2+1x不论为何实数，不论为何实数，(x+1)2总是非负数总是非负数2x2+4x+30 （2）(3x2-5x-1)(2x2-4x-7)=3x2-5x-1 2x2+4x+7=x2-x+6=x不论为何实数，不论为何实数，总是非负数总是非负数 0第59页解答以下各题解答以下各题若最简二次根式若最简二次根式 是被开方是被开方数相同，则数相同，则x值为多少？值为多少？答案：答案：3x2+4x=x+18x2+3x-18=0解之得解之得 x1=-6，x2=3检验：当检验：当x=-6时，时，x2+4x=12，不是最简二次根式，不是最简二次根式，x=-6 舍去舍去第60页3、已知、已知a、b是实数，是实数，解关于，解关于x方程方程(a+2)x2+b2x+8=0答案：答案：x1=4，x2=-2第61页阅读材料，解答问题阅读材料，解答问题 为了解方程（为了解方程（y-1）-3（y-1）+2=0，我们将，我们将y-1视为一个整体，视为一个整体，解：设解：设 y-1=a，则（，则（y-1）=a，a-3a+2=0，（1）a1=1，a2=2。当当a=1时，时，y-1=1，y=，当当a=2时，时，y-1=2，y=所以所以y1=，y2=-y 3=y4=-解答问题：解答问题：1、在由原方程得到方程（、在由原方程得到方程（1）过程中，利用了）过程中，利用了 法到法到达了降次目标，表达了达了降次目标，表达了 数学思想。数学思想。2、用上述方法解以下方程：、用上述方法解以下方程：第62页