初中数学八年级上册二元一次方程组专题专练.doc

北师大版初中数学八年级上册《二元一次方程组》专题专练

二元一次方程组是初中数学中重要的一章，在中考中也越来越受到重视，主要考查方程组的解法、列方程组解应用题，利用方程的定义和特征构造新的方程组等，为了达到更好的复习效果，特分五个专题来进行复习。
专题一 二元一次方程组的有关概念
一 二元一次方程组的概念
，像这样含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组。
重点提示：二元一次方程组是一个从整体上把握的概念，它的本质是：在这个方程组中，只有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.它并不要求每个方程都含有两个未知数。
二 二元一次方程组的解的概念
二元一次方程中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
重点提示：判断一组数是不是一个二元一次方程组的解，就是看这就组数是否适合每个方程，若适合就是，若不适合，就不是。
典例分析：
例1 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A B C D
析解：通过观察，发现A中含有三个未知数，所以不是二元一次方程组，B中第一个方程为二次方程，所以不是二元一次方程组，C中第一个方程组中的的次数不是1，所以不是二元一次方程组，运用排除法，故选D。
例2判断下列各组数是不是二元一次方程组的解。
（1） (2)
析解：要想判断一组数是不是方程组的解，一是将其代入，二是把方程组解出来，此题中只要把两组数分别代入既可知道（1）不是方程组的解，（2）是方程组的解。
例3 已知是二元一次方程，求k的值。
析解：此题是利用二元一次方程的定义来出的题，因为是二元一次方程，所以各未知数的指数应为1，所以x的系数为1，既,所以k=±2.
例4 （08杭州）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）A． B． C． D．
析解：析解：此题是利用二元一次方程组的解的定义，需要转换未知数，解题时可将代入，既可得：2+a=3,a=1,故选A.
练习一
1 已知是关于x、y的二元一次方程，则m=____,n=____.
2 已知是关于x、y的二元一次方程组的解，试求的值。
专题二 二元一次方程组的解法
一 解二元一次方程组的基本思路和基本方法
解二元一次方程组的基本思想是“消元”，既把“二元”变为“一元”，解二元一次方程组的基本方法有两种： 一是代入消元法，二是加减消元法。
在代入消元法中，选择一个系数较简单的变形，用一个求知数代替另一个求知数，代入另一个方程实现消元求解
在加减消元法中，使两个方程中对应的同类项系数变成相等或互为相反数，对应相减或相加消去一个求知数求解。
解二元一次方程组时到底采用哪种方法，要对具体方程组进行具体分析，一般地说，当方程组中有一个方程的某一个求知数的绝对值是1或有一个方程的常 数项为0时，用代入法简单；当两个方程中某一个求知数的系数的绝对值相等或成倍数时，用加减法简单。
典例分析:
例1（08怀化）方程组的解是 ___．
分析：结合方程组特点，因为方程组中两个未知数的系数一个相等，一个互为相反数，所以可以用加减法来解。
解：(1)+(2)得：2x=8,所以x=4，把x=4代入（1）得：y=1,所以方程组的解是：。
例2（08临沂）已知x、y满足方程组则x－y的值为________．
析解：因为题中要求的是x－y的值，所以可先把方程组解出来，因为代入既可，但仔细观察可以发现，这两个方程中的x、y的系数恰好对称，若直接相减，便可得到答案，,(1)－(2)得：
x－y=1.
二 二元一次方程组的特殊方法----图像法。
第一步将二元一次方程组中的两个方程转化为一次函数表达式。第二步在同一座标系中作出这两个一次函数的图像，交点就是方程组的解。
重点提示：由于作图难以十分准确，因而这样得到的解只能是近似解，所以这种做法的考点往往是已知图像来解二元一次方程组。同时由于直线有两种位置关系，当两直线平行时，方程组无解；当两直线相交时，方程组有唯一解。
·
P（1，1）
1
1
2
2
3
3
－1
－1
O

（第16题）
例3（08南通）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】
A． B．
C． D．
分析:从图象上可以看出，方程组的解是，只要把解代入方程组试一下就可以了，通过代入可以知道所解的二元一次方程组是D.
练习：
1 解方程组（提示：用代入法。）
2 解方程组
考点三 利用二元一次方程组解图象题
本专题主要涉及有关图象问题，解决的关键在于从图象中读出条件，列出相关的方程组解决问题。

例1（08白银等九市州试题）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图6所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（　 ）
A．5 B．4 C．3 D．2
分析：从图中可以看出，两个球的质量等于五个圆柱体的质量，两个正方体的质量等于两个圆柱的质量，列方程组可得。
解：我们可以设球的质量为x，圆柱的质量为y, 正方体的质量为z，所以由(2)可得，y=z,代入（1）得：2x=5z，所以正方体的个数为5，故选A.
练习三：
巧克力
果冻
50g砝码

1（08河北省）右图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，
每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 ______g．
专题四 列二元一次方程组解实际问题
列二元一次方程组解应用题是体现学生能力的重要题型，它的一般步骤是：①弄清题意和题中的数量关系，特别注意隐含条件。②设出求知数如（x,y）。③找出能够表示应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组。④解这个方程组，求出求知数的值。⑤检验是否符合实际并写出答案。
典例分析：
例1 （08山东日照）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
分析：在本题中，存在两个等量关系，分别是两种原料的数量，当生产结束时，两种原料正好用完，所以根据题意可得方程组。
解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．根据题意，得

①×2－②得：5x=10000．　
∴ x=2000．
把x=2000代入①得：5y=12000．
∴ y=2400．
答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．
例2（08威海）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？
分析：本题存在两个等量关系，一个两种帐篷总数为600，二是捐助钱数为94万元，因此可列方程组解决.
解：设A种帐篷x顶，B种帐篷y顶，根据题意，列方程组

解，得
∴ A种帐篷400顶，B种帐篷200顶．
例3（08益阳）5·12汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖． 据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大． 为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽， 经计算需挖出土石方13．4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前．
根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？
分析：众志成城，抗震救灾，是每一个中国人共同的心声，消除堰塞湖危险刻不容缓，本题中原计划的工效和加速后的工效关系是一个等量关系，挖出的总土石方是固定的，所以可列方程组。
解：设原计划每天挖土石方x万立方米，增调人员和设备后每天挖y万立方米
可列出方程组：解之得：
答：原计划每天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.6万立方米
共计19元
共计18元
第三束
水仙花
康乃馨
例4（08济南）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．
分析：此题是一个图象信息题，由图可知，第一束花有3支康乃馨1支水仙花，第二束花有2支康乃馨和2支水仙花，由前两束花的价格就可求出康乃馨和水仙花的单价，进而求出第三束花的价格。
解：设康乃馨每支元，水仙花每支元
由题意得： 解得：
第三束花的价格为
答：第三束花的价格是17元．
练习四 1 （08湘潭）四川的强烈地震，牵动着花蕊小朋友的心. 花蕊小朋友用280元，买了每支元的铅笔和每支5元的钢笔一共200支，寄给灾区的小朋友，请你计算出她买的铅笔和钢笔的支数.
2（08长沙）“5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.
（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？
（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？
3（08义乌）已知、互余，比大.设、的度数分别为、，下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
4（08烟台）据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2％～0.5％之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大．
现将4.94kg的衣服放入最大容量为15kg的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1匙洗衣粉约0.02kg，假设洗衣机以最大容量洗涤）
专题五 二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组与一次函数在本质上一样的，都包含两个未知数，因此我们既可以用一次函数的图像来解二元一次方程组，也可以用列二元一次方程组的方法来求解一次函数的解析式。前者在文中已有所述，在此只说一下利用列二元一次方程组来求一次函数的问题。
l1
l2
x
y
D
O
3
B
C
A

（4，0）

例1（08河北省）如右图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得
与的面积相等，请直接写出点的坐标．
分析：此题体现了方程组与一次函数的关系，要解决这个问题，就要运用方程思想，建立起k与b间二元一次方程组，解之既得函数解析式，在第四问中，因为要满足两三角形面积相等，就得使C、P两点关于点A对称，这样就可以写出P点坐标了。
解：（1）由，令，得．．．
（2）设直线的解析表达式为，由图象知：，；，．
直线的解析表达式为．
（3）由解得．
，．
（4）因为两三角形面积相等，所以C、P关于A点对称，所以P点纵坐标与C点相反，横坐标与C点到点A的距离相等且分居A点两旁，所以点坐标为．
练习
1 （08中山）已知直线：和直线：：，求两条直线和 的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．
附练习答案：
练习一 1
2 把代入方程组，既可得到一个关于m、n的新的二元一次方程组，解之得：,所以=.
练习二 1解是
2 提示：先把每一个方程化简得，然后用加减法解之得：
练习三 20
练习四 1 解：设买的铅笔为x支，买的钢笔为y支
②
①
根据题意得:
解得
2 解：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x、y顶，则
，
解得x=41，y=32．
答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．

(2)由3（4×41+5×32）=972＜1000知，即使工厂满负荷全面转产，还不能如期完成任务．

可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其它厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．
3 C
4 解：设洗衣机中需加入千克水，匙洗衣粉．
由题意得
解得
所以，洗衣机中需加入10千克水，3匙洗衣粉
练习五： 1 解：由题意得，
解得，
∴ 直线和直线的交点坐标是（2，－3）．
交点（2，－3）落在平面直角坐标系的第四象限上．