四川省初中数学联赛初三组初赛试卷1.doc

2012年全国初中数学联赛四川 (初三组)初赛试卷
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、已知关于的方程的根比关于的方程的根大2，那么a的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、设，，且，则代数式的值为（ ）
A、5 B、7 C、9 D、11
3、如图，直线AB、CD相交于点O，，半径为的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为.如果⊙P以的速度沿由A至B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切所需的时间为（ ）
O
第3题图
P
A
C
B
D
N
O
第6题图
M
A
C
B
D
A、秒 B、秒 C、秒 D、秒或秒

4、已知，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知，为（ ）
A、 B、1 C、2 D、4
6、如图所示，在梯形ABCD中，，AC交BD于点O，，且MON分别交AD、BC于M、N，则等于（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、有一列数，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，……的规律排列，从左往右数，第2012个位置上的数是　　　　.
2、若函数与函数的图像交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则的面积为 .
3、如图，在平面上将绕点B旋转到的位置时，，，则．
A′
C′
A
C
B
第3题图
O4
O3
A
O2
O1
O
B
第4题图

4、如图，大⊙O的直径，分别以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O4O2O3的面积为 .
三、（本大题满分20分）

如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．
（I）若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；
（II）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值。

四、（本大题满分25分）
如图，在中，D为AC边上一点，且，过D作AC的垂线交的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为外接圆的直径。
D
A
C
B
M
N

五、（本大题满分25分）
已知方程组的所有各组解（x，y，z）都是由正实数组成的，其中是参数。试求a的取值范围。

2012年四川初中数学竞赛(初三组)初赛
参考解答与评分标准
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、A 2、B 3、D 4、D 5、C 6、B
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、2 2、2 3、 4、24
三、（本大题满分20分）

如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．
（I）若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；
（II）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值。
解：（1）设点A坐标为（x，y），根据题意得
（5分）
解得或
所以A点坐标为（，）或（，）（10分）
（2）设点A坐标为（x，y），则
（15分）

所以当时，矩形ABOC面积取得最大值为8（20分）
四、（本大题满分25分）
如图，在中，D为AC边上一点，且，过D作AC的垂线交的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为外接圆的直径。
解：延长AC至E，使（5分）
E
D
A
C
B
M
N
则由已知得
又，所以（10分）
所以
又由得
所以（15分）
所以
所以（20分）
所以M为优弧AMB的中点
又因为
所以MN为外接圆的直径（25分）
五、（本大题满分25分）
已知方程组的所有各组解（x，y，z）都是由正实数组成的，其中是参数。试求a的取值范围。
解：由得①
得②
又③
将①②代入③得，化简得（5分）
此方程的两个根为和
因x，y，z都是正实数，所以（10分）
将代入①②得
因此x，y是下面辅助方程的两个根
④（15分）
因为x，y是实数，所以
（20分）
因为x，y都是正数，所以，即
因此可得a的取值范围是．（25分）