资源描述
3.2.2 函数模型的应用实例
【选题明细表】
知识点、方法
题号
利用已知函数模型解决问题
3,5,10
自建函数模型解决问题
1,2,4,7,9
拟合函数模型解决问题
6,8
1.(2018·娄底高一期末)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( D )
(A)一次函数 (B)二次函数
(C)指数型函数 (D)对数型函数
解析:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.
2.已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(cm)是腰长 x(cm) 的函数,则函数的定义域为( A )
(A)(10,20) (B)(0,10)
(C)(5,10) (D)[5,10)
解析:y=40-2x,由得10<x<20.故选A.
3.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等.
其中正确的是( B )
(A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④
解析:图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=
2(a>0),故①对;令t=5,得y=25=32>30,故②对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=8≠12,故③错;由指数型函数模型的图象上升特征可知④错.故选B.
4.(2018·海淀区高一月考)2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( A )
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
1
不超过1 500元
3
2
1 500～4 500元
10
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3 500元(起征点)后的余额.
(A)7 000元 (B)7 500元 (C)6 600元 (D)5 950元
解析:设此人该月工资收入为x元.1 500×3%=45元.
(x-3 500-1 500)×10%=245-45,得x=7 000元.
5.(2018·河北省石家庄市质检)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验数据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( B )
(A)3.50分钟 (B)3.75分钟
(C)4.00分钟 (D)4.25分钟
解析:依题意有
解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.
所以P=-0.2t2+1.5t-2=-(t-)2+.
所以当t==3.75时,P取得最大值.
即最佳加工时间为3.75分钟.
6.(2017·泉州高一月考)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
(A)y=2x-2 (B)y=(x2-1)
(C)y=log2x (D)y=lox
解析:由题意可得表中数据y随x的变化趋势.
函数在(0,+∞)上是增函数,
且y的变化随x的增大越来越快.
因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,所以排除A,C,D;
所以B中函数y=(x2-1)符合题意.
7.已知甲、乙两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地,把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数,则此函数表达式为 .
解析:当0≤t≤2.5时s=60t,当2.5<t<3.5时s=150,当3.5≤t≤6.5时s=150-50(t-3.5)=325-50t,
综上所述,s=
答案:s=
8.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:
y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用 作为拟合模型较好.
解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,
对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
答案:甲
9.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;
当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,
即3x≤4,且5x>4时,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.
当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,
y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.
所以y=
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;
当x∈[0,]时,y≤f()<26.4;
当x∈（,]时,y≤f()<26.4;
当x∈(,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.
所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);
付费S甲=4×1.8+3.5×3=17.70(元);
乙户用水量为3x=4.5(吨),
付费S乙=4×1.8+0.5×3=8.70(元).
10.(2018·河北省枣强中学高一期中)2016年9月15日,天宫二号空间实验室发射成功,借天宫二号东风,某厂推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为20 000元,每生产一件“玉兔”需要增加投入100元,根据统计数据,总收益P(单位:元)与月产量x(单位:件)满足P=(注:总收益=总成本+利润)
(1)请将利润y(单位:元)表示成月产量x的函数;
(2)当月产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?
解:(1)依题意,总成本是20 000+100x,
所以y=P-(20 000+100x),
即y=
(2)由(1)知,当x∈(0,400]时,
y=-(x-300)2+25 000,
所以当x=300时,ymax=25 000;
当x>400时,y=60 000-100x<20 000.
故当月产量x为300件时,利润y最大,且最大利润为25 000元.
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