初中数学破题致胜微方法巧用旋转90°的旋转1.doc

90°的旋转
【例】如图，在△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACE的位置．连接BC、ED．求证：ED⊥BC

【分析】根据旋转的性质，会得到旋转前后所对应的两个三角形全等，借助全等的性质和线段的共端点，得到AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90°，则可判断△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，然后根据三角形内角和可计算出∠DHC=90°，则利用垂直的定义即可得到ED⊥BC．
【解答】证明：延长ED交BC于H，如图，

∵△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACE的位置，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，∠ADE=45°，
∴∠HDC=∠ADE=45°，
∴∠DHC=180°-∠DCH-∠HDC=90°，
∴ED⊥BC．
【总结】当遇到绕其中一个图形的定点旋转这个图形90°时，共旋转中心的边及旋转后的边组成等腰直角三角形，可结合其性质解决题中的问题
【练习】1.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=________°.

2.如图,已知点P是正方形内一点,△ABP旋转后能与△CBE重合.
(1)△ABP旋转的旋转中心是什么?旋转了多少度?
(2)若BP=2,求PE的长.

3.如图,已知P为正方形ABCD内一点,以点B为旋转中心,将△ABP顺时针旋转使点A和点C重合,这时点P旋转至点G.
(1)画出旋转后的图形;
(2)连接PG,交BC于点H,若∠ABP=50°,求∠PHC的度数.

4.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连结PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小;
(3)求CQ的长.

【答案】1.

135分析：连接EE′，借助旋转的性质得到△ABE≌△CBE′得到△BEE′为等腰直角三角形，又E′C=EA=1, E′E= ,CE=3,借助勾股定理的逆定理得到直角三角形E′EC,则∠EE′C=90°，∴∠BE′C=135°.
2.解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；
（2）∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴BP=BE=2，∠PBE=90°，
3.
解：(1) 旋转后的△BCG如图所示.
（2）∵以点B为旋转中心，将△ABP顺时针旋转使A点和C点重合，
∴BP=BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PBG=90°，
∴△PBG是等腰直角三角形，
∴∠BPG=∠BGP=45°，
∵∠ABP=50°，
∴∠PBH=90°-50°=40°，
∴∠PHC=∠PBH+∠BPH=45°+50°=95°．