2019高三数学理上学期开学考试试卷四川XX中学带答案.docx

2018-2019学年高三上学期开学考试 数学（理）试题 考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟． （2）第I卷、第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题, 共60分．） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列复数是纯虚数的是 A． B． C． D． 2．某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩 服从正态分布 ，若 ，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为 A．70 B．80 C．90 D．100 3．已知集合 ， ，则 A． B． C． 或 D． 或 4．已知命题 ： ，使得 ，则 为 A． ，总有 B． ，使得 C． ，总有 D． ，使得 5.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是 A． B． C. D． 6.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件 为“取出的两个球颜色不同”，事件 为“取出一个黄球，一个绿球”，则 A． B． C． D． 7．方程 至少有一个负根的充要条件是 A． B． C． D． 或 8．设 ，则 的大小关系是 A. B. C. D. 9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A. B. C. D. 10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为 A. B. C． D. 11．若 ， ，则 的最小值为 A． B． C． D． 12．已知函数 ，若函数 的图象上存在点 ，使得 在点 处的切线与 的图象也相切，则 的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题, 共90分．） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．) K13．二项式 的展开式中含 项的系数为 ． 14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡�唬�周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡�痪褪窃仓�体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡��(圆柱体)的体积V＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率 的取值为________．(注：一丈＝10尺) 15．已知f(x)＝log12(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是______________. 16．已知F是椭圆C： 的右焦点，P是椭圆上一点， ，当△APF周长最大时，该三角形的面积为__________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分12分） 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ ADC＝β. （I）求 的最大值； （II）若BD＝1， ，求△ABD的面积．
18．（本小题满分12分）哈三中2016级高二期中考试中，某班共50名学生，数学成绩的优秀率为20%，物理成绩大于90分的为优秀，物理成绩的频率分布直方图如图． （I）这50名学生在本次考试中，数学、物理优秀的人数分别为多少？ （II）如果数学、物理都优秀的有6人，补全下列 列联表，并根据列联表，判断是否有 以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？
物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 6 数学非优秀 总计
附： ，其中 . 19．（本题满分12分）如图 ， 是边长为 的等边三角形， ， 分别为 ， 靠近 ， 的三等分点，点 为 边的中点，线段 交线段 于 点，将 沿 翻折，使平 面 ⊥平面 ，连接 ， ， 形成如图 所示的几何体． (Ⅰ) 求证： ⊥平面 ； (Ⅱ) 求二面角 的余弦值． 20．（本题满分12分）已知动点 到定点 和定直线 的距离之比为 ，设动点 的轨迹为曲线 ． （I）求曲线 的方程； （II）设 ，过点 作斜率不为 的直线 与曲线 交于两点 ，设直线 的斜率分别是 ，求 的值．

21．（本题满分12分）设函数 ， ，(其中 ). （I）当 时,求函数 的极值; （II）求证：存在 ，使得 在 内恒成立，且方程 在 内有唯一解.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.(本小题10分)已知直线 （ 为参数），曲线 （ 为参数）. （I）求直线 与曲线 的普通方程； （II）已知点 ，若直线 与曲线 相交于 两点（点 在点 的上方），求 的值.

23.（本小题10分）已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)． （I）当a＝4时，求不等式的解集； （II）若不等式有解，求实数a的取值范围．

四川省棠湖中学2018-2019学年高三上学期开学考试 数学（理）答案 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B
13. 14．3 15. 16. 17．解：(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋π3， 0≤α≤π3，故2cos －cos =2cos －cosα＋π3＝3sinα＋π3， 故当α＝π6，即D为BC中点时，原式取最大值3. (2)由cos β＝17，得sin β＝437， 故sin α＝sinβ－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314， 由正弦定理ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD， 故AB＝sin βsin αBD＝4373314×1＝83，故S△ABD＝12AB・BD・sin B＝12×83×1×32＝233. 18.（1）10,12 （2） 有 19.解：（Ⅰ）证明：在图1中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点， 则DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC. 在图2中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG＝F，所以DE⊥平面AFG. 又DE∥BC，所以BC⊥平面AFG. (Ⅱ)解：因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE＝DE，AF⊥DE， 所以， 平面 又因为DE⊥GF， 所以FA，FD，FG两两垂直． 以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.则 A(0，0，23)，B(3，－3，0)，E(0，－2，0)， 所以AB→＝(3，－ 3，－23)，BE→＝(－3，1，0)． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则n・AB→＝0，n・BE→＝0，即3x－3y－23z＝0，－3x＋y＝0，取x＝1，则y＝3，z＝－1，则n＝(1，3，－1)． 显然m＝(1，0，0)为平面ADE的一个法向量， 所以 cos〈m，n〉＝m・n|m|・|n|＝55. 由图形可知二面角B－AE－D为钝角， 所以，二面角B－AE－D的余弦值为－55. 20.解：（I）设 ,则依题意有 ， 整理得 ,即为曲线 的方程. （Ⅱ）设直线 ,则 由 联立得： ∴ ；即 21.解：（I）当 时, , 令 ,得 , ,当 变化时, 的变化如下表: 极大值 极小值
由表可知, ； ； （II）设 ， ， ，若 要有解，需 有单减区间，则 要有解 ，由 ， ，记 为函数 的导数 则 ，当 时 单增，令 ，由 ，得 ，需考察 与区间 的关系： ①当 时， ， ，在 上 ， 单增， 故 单增， ， 无解； ②当 ，时， ， ，因为 单增，在 上 ，在 上 当 时， （i）若 ，即 时， ， 单增， ， 无解； （ii）若 ，即 ， ，在 上， ， 单减； ， ， 在区间 上有唯一解，记为 ；在 上， 单增 ， ，当 时 ，故 在区间 上有唯一解，记为 ，则在 上 ，在 上 ，在 上 ，当 时， 取得最小值 ，此时 若要 恒成立且 有唯一解，当且仅当 ，即 ，由 有 联立两式 解得 .综上，当 时， 22.解：（1）由直线已知直线 （ 为参数），消去参数 得： 曲线 （ 为参数）消去参数 得： . （2）设 将直线 的参数方程代入 得： 由韦达定理可得： 结合图像可知 ， 由椭圆的定义知： ； . 23.解：(1)当a＝4时，log2a＝2， ①当x＜－12时，－x－2≤2，得－4≤x＜－12；②当－12≤x≤1时，3x≤2，得－12≤x≤23； ③当x＞1时，此时x不存在．所以不等式的解集为{x|－4≤x≤23}． (2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝－x－2，x＜－12，3x，－12≤x≤1，x＋2，x＞1， 由f(x)的图象知f(x)≥－32，∴f(x)min＝－32.∴log2a≥－32，∴a≥24.所以实数a的取值范围是[24，＋∞).

20 × 20