2017高三数学理下学期第二次联考试题湖北荆州中学等八校带答案.docx

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2017届高三第二次联考 数学试题（理科） 命题学校：孝感高中 命题人：姚继元 王国涛 审题人：雷建华 张同裕 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知复数 ，则 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集 ，集合 ， ，则 A． B． C． D． 3.下列选项中说法正确的是 A．命题“ 为真”是命题“ 为真” 的必要条件. B．若向量 满足 ，则 与 的夹角为锐角. C．若 ，则 . D．“ ”的否定是“ ”. 4.若等差数列 的公差为 ，且 是 与 的等比中项，则该数列的前 项和 取最小值时， 的值等于 A. 7 B. 6 C.5 D.4 5.过双曲线 的左焦点的直线交双曲线 的左支于 ， 两点，且 ，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是 A． B． C． D． 6.已知若 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 ， 的夹角为 A． B． C． D． 7. ，则 展开式中， 项的系数为 A． B． C． D． 8.右图是求样本x1，x2，…，x10平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 A.S=S+ B.S=S+ C.S=S+ n D.S=S+ 9.设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则 的值为 A．3 B．6 C．9 D．12 10.函数 的定义域是R，若对于任意的正数a，函数 都是其定义域 上的减函数，则函数 的图象可能是

11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即 。与此类似，我们可以得到： (1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 ； (2)正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 ； (3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 ； 那么 = A． B． C． D． 12.记 为最接近 的整数，如： ， ， ， ， ，……，若 ，则正整数m的值为 A. B. C. D.
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 中心对称，那么|φ|的最小值为 . 14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件 , “摸得的两球同色”为事件 ,则 概率 为 . 15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的外接球的表面积为 . 16.已知动点 满足： ，则 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= . （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若0<A< ，a=6，且△ABC的面积 ，求△ABC的周长. 18. （本小题满分12分） 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按 年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组（岁） 频数 [25，30） x [30，35） y [35，40） 35 [40，45） 30 [45，50] 10 合计 100
（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图； （Ⅱ）在抽取的这100名市 民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数X， 求 X的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°， AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面ACM； （Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M―AC―B的大小 为β，求sinα•cosβ的值.
20.（本小题满分12分） 设椭圆 （a>0 ）的焦点在x轴上. （Ⅰ）若椭圆E的离心率 ，求椭圆E的方程； （Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y= 与椭圆E的一个公共点; 直线F2P交y轴于点Q，连结F1P.问当a变化时， 与 的夹角是否为定值，若是定值， 求出该定值；若不是定值，说明理由.
21.（本小题满分12分） 设函数f(x)=x2-ax（ a>0，且a≠1），g(x)= ，（其中 为f(x)的导函数）. （Ⅰ）当a=e时，求g(x)的极大值点； （Ⅱ）讨论f(x)的零点个数.
请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程. 将圆x2+y2=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得曲线C. （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标 系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
23.（本小题满分10分）选修4―5：不等 式选讲. 已知 函数 的最大值为10. （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最小值，并求出此时 的值. 2017届八校二联理数参考答案 一、选择题
CDABD CADBB AC
二、填空题 13. 14. 15. 16. 17.解：（1）由正弦定理得2sinAsinB= （3分） ∵0<A<π，∴ 或 ；……………………（5分） （2）∵ ， ∴ ，（7分） 由余弦定理得， （11分） 故△ABC的周长l=a+b+c=14………………..(12分) 18.由图知，P(25≤x<30)=0.01×5=0.05，故x=100×0.05=5；（2分） P(30≤x<35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2 故y=100×0.2=20， （4分） 其 …………（6分） （2）∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人， ∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人. （8分） X可取0，1，2， ， 故X的分布列为 （10分） X 0 1 2 P
故 （12分） 19.（1）证明：连结OM，在△PBD中，OM∥PB，OM 平面ACM，PB 平面ACM， 故PB∥平面ACM；（4分） （2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD， 故∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角. ∵ ，在Rt△ADO中， ，在Rt△AMN中， ∴ ， （8分） 取AO的中点R，连结NR，MR，∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD， 由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M―AC―B的补角，即为π-β. ∵ ∴ ， （11分） ∴ （12分） 20. 解：（1）由题知 ，由 得 a4 - 25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为 ；（4分） （2）设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=2a2-8， 联立 得8x2 -4 x+a4=0， 即 ，故 ， ， （7分） 直线PF2的方程为 ，令x=0，则 ，即点Q的坐标为 ， 故 ， （9分） 故 （11分） 故 与 的夹角为定值 . （12分）
21.（1）g(x)=2x-ex， =2-ex=0 ， 当x<ln2时， >0；当x>ln2时， <0，故 的极大值点为ln2；（4分） （2）(Ⅰ)先考虑a>1时，f(x)的零点个数，当x≤0时，f(x)为单减函数，（5分） ；f(0)=-1<0，由零点存在性定理知f(x)有一个零点； 当x>0时，由f(x)=0得 ，令 . 由 =0得，x=e，当0<x<e时， >0；当x>e时， <0， 故h(x)max=h(e)= ， 且 总成立，故 的图像如下图， 由数形结合知， ①若 即 时，当x>0时，f(x)无零点，故x∈R时，f(x)有一个零点； ②若 即 时，当x>0时，f(x)有一个零点，故x∈R时，f(x)有2个零点； ③若 即 时，当x>0时，f(x)有2个零点，故x∈R时，f(x)有3个零点.（9分） （Ⅱ）再考虑0<a<1的情形，若0<a<1，则 ，同上可知， 当 即0<a< 时，f(x)有一个零点； 当 即a= 时，f(x)有2个零点； 当 即 <a<1时，f(x)有3个零点.（11分） 综合上述， ①当 或0<a< 时，f(x)有一个零点； ②当a= 或a= 时，f(x)有2个零点； ③当1<a< 或 <a<1时，f(x)有3个零点.（12分） 22.解：（1）由坐标变换公式 得 代入x2+y2=1中得 ， 故曲线C的参数方程为 ；（5分） （2）由题知， ，P2(0，1)，P1 P2线段中点 ， ，故P1 P2线段中垂线的方程为 （8分） 即3x-9y-4=0，即极坐标方程为 （10分） 23.解：（1） 当且仅当 时等号成立，又 的最大值为 又已知 的最大值为10，所以 （4分） （2）由（1）知 由柯西不等式得 即 （7分） 当且仅当 即 时等号成立。（10分）

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