2018陕西高三数学普通班第一次大检测试题理附答案.docx

高三普通班第一次质量大检测理科 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 的实部为 （ ） A． 　 B． 　 C．－ 　 D．－ 2.集合 ,则 （ ）
A. B. C. D. 3.设等差数列 的前 项和为 ， ， ，则公差 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 4.已知“ ”，且“ ”，则“ ”是“ ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若 的展开式中 的系数为 ，则 （ ） A． B． C． D． 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 7.已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 8.函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 9.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的前10项和为 A. B. C. D. 10. 已知函数 在 上单调,且函数 的图象关于 对称,若数列 是公差不为0的等差数列,且 ,则 的前100项的和为 A． B． C． D． 11.已知 ，两直角边 ， 是 内一点，且 ， 设 ，则 A. B. C. D. 12.已知函数 的定义域为 ，若对于 分别为某个三角形的边长，则称 为“三角形函数”.给出下列四个函数： ① ； ② ；③ ；④ .其中为“三角形函数”的个数是 A. B. C. D. 第 Ⅱ 卷 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） （13）若 ，且 ，则 的最小值是__________ （14）若 ，则 + − +…+ 的 值为 （15）已知 、 、 是球 的球面上三点， ， ， ，且棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为___________ （16）已知 外接圆 的半径为1，且 .若 ，则 的最大值为__________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分） 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 ，记数列 的前 项和为 ．证明： ．
18．（本小题满分12分） 据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
分组
频数 18 49 24 5
（Ⅰ）求 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高? （Ⅱ）若导游的奖金 （单位：万元），与其一年内旅游总收入 （单位：百万元）之间的关系为 ，求甲公司导游的年平均奖金； （Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在 的总人数中，随机的抽取 人进行表彰，设来自乙公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 19. 如图，四棱锥 中， 为等边三角形，且平面 平面 ， ， ， . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值. 20. 已知圆 经过椭圆 ： 的两个焦点和两个顶点，点 ， ， 是椭圆 上的两点，它们在 轴两侧，且 的平分线在 轴上， . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）证明：直线 过定点. 21.（本题满分12分） 设函数f(x)=ax2+b，其中a,b是实数. (Ⅰ)若ab>0，且函数f[f(x)]的最小值为2，求b的取值范围； (Ⅱ)求实数a, b满足的条件，使得对任意满足xy=1的实数x, y，都有f(x)+f(y)≥f(x)f(y)成立.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数， ），将曲线 经过伸缩变换： 得到曲线 . （1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程； （2）若直线 ： （ 为参数）与 ， 相交于 ， 两点，且 ，求 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）若 的最小值不小于 ，求 的最大值； （2）若 的最小值为 ，求 的值. 参考答案 CAAB DCBA BBAC 13. 4 14. -1 15.48 16.
17.解：（I）当 时，有 ，解得 . 当 时，有 ，则 整理得： 数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列． 即数列 的通项公式为： ． ……………………………6分 （II）由（I）有 ，则 易知数列 为递增数列 ，即 . ………………………………………12分 18.解：（I）由直方图知： ，有 ， 由频数分布表知： ，有 ． 甲公司的导游优秀率为： ； 乙公司的导游优秀率为： ； 由于 ，所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II）甲公司年旅游总收入 的人数为 人； 年旅游总收入 的人数为 人； 年旅游总收入 的人数为 人； 故甲公司导游的年平均奖金 （万元）． ……8分 （III）由已知得，年旅游总收入在 的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故 的可能取值为 ，易知： ； . 的分布列为：
的数学期望为： ． …………12分 19.【答案】证明见解析；（Ⅱ） . 【解析】试题分析： （Ⅰ）取 的中点为 ，连接 ， ，结合条件可证得 平面 ，于是 ，又 ，故可得 ．（Ⅱ）由题意可证得 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面 和平面 的法向量可求解本题． 试题解析： 证明：（Ⅰ）取 的中点为 ，连接 ， ， ∵ 为等边三角形， ∴ . 在底面 中，可得四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ . 又 ， ∴ . （Ⅱ）∵平面 面 ， ， ∴ 平面 ， 由此可得 ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ． ∵直线 与平面 所成角为 ，即 ， 由 ，知 ，得 . 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 . 由 ，得 ． 令 ，则 ． 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 ． 令 ，则 ， ∴ ， 由图形知二面角 为钝角， ∴二面角 的余弦值为 .
20.【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）直线 过定点 . 【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故 ,由此求得椭圆方程.(II)设出直线 的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出 的斜率并相加,由此求得直线 过定点 . 【试题解析】 （Ⅰ）圆 与 轴交点 即为椭圆的焦点，圆 与 轴交点 即为椭圆的上下两顶点，所以 ， .从而 ， 因此椭圆 的方程为： . （Ⅱ）设直线 的方程为 . 由 ，消去 得 . 设 ， ，则 ， . 直线 的斜率 ； 直线 的斜率 . . 由 的平分线在 轴上，得 .又因为 ，所以 ， 所以 . 因此，直线 过定点 . 21.解：(1)由题， f[f(x)]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，记t=x2 当ab>0时，二次函数 的对称轴 <0, 显然当 时，不符合题意，所以 ， 所以当 时，f[f(x)]取到最小值，即有 从而 ，解得 ； (2)∵ ，即 ，且 ， ∴ ， 即 . 令 ，则 要恒成立， 需要 ，此时 在 上是增函数， 所以 ， 即 ， 所以实数a,b满足的条件为 22.解：（1） 的普通方程为 ， 把 ， 代入上述方程得， ， ∴ 的方程为 . 令 ， ， 所以 的极坐标方程为 . （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ， 由 得 ， 由 得 . 而 ，∴ . 而 ，∴ 或 . 23.解：（1）因为 ，所以 ， 解得 ，即 . （2） . 当 时， ， ，所以 不符合题意. 当 时， ，即 ， 所以 ，解得 . 当 时，同法可知 ，解得 . 综上， 或 .

20 × 20