2018荆州市高三数学文质量检查试题III有答案.docx

荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ） 数学（文史类） 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 （ ） A． B． C． D． 3.下列命题正确的是（ ） A．命题“ ”为假命题，则命题 与命题 都是假命题； B．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题； C．“ ”是“ ”成立的必要不充分条件； D．命题“存在 ，使得 ”的否定是：“对任意 ，均有 ”. 4.已知数列 满足 ，且 ，则 （ ） A．-3 B．3 C． D． 5.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 6.把函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 （ ） A．图象关于直线 对称 B．在 上单调递减 C．图象关于点 对称 D．在 上单调递增 7.实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A．0 B．-2 C．2 D．4 8.函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） A． B． C． D．12 11.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 12.若函数 有且只有两个零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量 ， ，若向量 与 共线，则 ． 14.某医院随机抽取20位急症病人家属了解病人等待急症的时间，记录如下表： 等待急症时间（分钟）
频数 4 8 5 2 1 根据以上记录，病人等待急症平均时间的估计值 分钟． 15.已知底面是直角三角形的直三棱柱 的所有顶点都在球 的球面上，且 ，若球 的表面积为 ，则这个直三棱柱的体积是 ． 16.高斯函数 又称为取整函数，符号 表示不超过 的最大整数.设 是关于 的方程 的实数根， ， .则：（1） ；（2） . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 . （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 的值. 18.在四棱锥 中， ， ， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，平面 平面 . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积. 19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据： 月份 1 2 3 4 5 6 不“礼让斑马线”驾驶员人数 120 105 100 85 90 80 （Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数 与月份 之间的回归直线方程 ； （Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？ （Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式： ， . 20.已知倾斜角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 . （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）过点 的两条直线 、 分别交抛物线 于点 、 和 、 ，线段 和 的中点分别为 、 .如果直线 与 的斜率之积等于1，求证：直线 经过一定点. 21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数. （Ⅰ）当 ， 时，证明： ； （Ⅱ）当 时，讨论函数 的极值点的个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知圆 的圆心为 ，半径为 .以极点为原点，极轴方向为 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数， 且 ）. （Ⅰ）写出圆 的极坐标方程和直线 的普通方程； （Ⅱ）若直线 与圆 交于 、 两点，求 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设不等式 的解集为 . （Ⅰ）求集合 ； （Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ） 数学（文科）参考答案 一、选择题 1-5: CBBAA 6-10: DDACC 11、12：DA 二、填空题 13. 14. 7.6 15. 16.（1）2；（2） 三、解答题 17.解：（Ⅰ）方法一：由余弦定理可得 ， 整理得： ，即 ， 又 为三角形的内角，∴ . 方法二：由正弦定理可得： ， ， ， ，又 为三角形的内角， . （Ⅱ）由题意： ， 在三角形中： ， 即 ， 联立①②解得 . 18.（Ⅰ）证明：取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， . ∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形， ∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ，而 ， ∴ ① 又∵ ， ， ， ∴四边形 为正方形，且 ， ∴ ，即 ② 由①②及 得： 面 ， 又∵ 面 ，∴ ， 又∵ ， ， ∴ 面 ，而 面 ， ∴ . （Ⅱ）过 点作 于 ，则 面 且 ， （或由（Ⅰ）得 面 ， ） 19.解：（Ⅰ）依题意 ， ， ， ， ∴ 关于 的线性回归方程为： . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，当 时， . ，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”. （Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为： ， ， ， ，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为 ， ，从这6人中任抽两人包含以下基本事件： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件， ∴所求概率 . 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线 的方程为 ，令 ， . 联立 得 ，∴ ， 根据抛物线的定义得，又 ，又 ，∴ ，∴ . 则此抛物线的方程为 . （Ⅱ）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 . 于是直线 的方程为 ，即 ， 联立 得 ，∴ ， 则 ，∴ ， 同理将 换成 得： ， ∴ . 则直线 的方程为 ， 即 ，显然当 ， . 所以直线 经过定点 . 21.解：（Ⅰ）依题意 ，因为 ，只要证 ， 记 ， ，则 . 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以 ，即 ，原不等式成立. （Ⅱ） ， 记 ， . （1）当 时， ， 在 上单调递增， ， ， 所以存在唯一 ， ，且当 时， ；当 ， ， ①若 ，即 时，对任意 ， ，此时 在 上单调递增，无极值点. ②若 ，即 时，此时当 或 时， .即 在 ， 上单调递增；当 时， ，即 在 上单调递减. 此时 有一个极大值点 和一个极小值点-1. ③若 ，即 时，此时当 或 时， .即 在 ， 上单调递增；当 时， ，即 在 上单调递减. 此时 有一个极大值点-1和一个极小值点 . （2）当 时， ，所以 ，显然 在 单调递减；在 上单调递增. 综上可得：①当 或 时， 有两个极值点； ②当 时， 无极值点； ③当 时， 有一个极值点. 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令 ， ， 在 中， 为直径， ， ∵ 消去参数 得直线 的普通方程为： . 法二：在直角坐标系中，圆 的圆心为 ，则方程为 . 即 ，∴ ， 即 . （Ⅱ）法一：直线过圆 内一定点 ，当 时， 有最小值， ∴ . 法二：点 到直线 的距离 ， ∴ . 当 时， 有最小值 . 23.解：（Ⅰ）由已知，令 ， 由 得 . （Ⅱ）将不等式 整理成 ， 令 ，要使 ， 则 ，

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