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2018高三数学(理)3月联考试题(茂名市附答案) 茂名市五大联盟学校三月联考 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合运算正确的是( ) A. B. C. D. 2. 12月18日至20日,中央经济工作会议在北京举行,中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光,在此期间,某电视台记者,随机采访了7名外国投资者,其中有4名投资者会说汉语与本国语,另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访,则这3人都只会使用两种语言交流的概率为( ) A. B. C. D. 3. 给出下列命题: ①若 ,则 ② , ; ③函数 的图象关于点 成中心对称; ④若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C. 3 D. 4 4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有( ) A.520 B.360 C. 241 D.134 5. 函数 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 6. 在 的展开式中, 项的系数为( ) A.200 B.180 C. 150 D.120 7. 已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( ) A. B. C. D. 8. 若焦点在 轴上的椭圆 ( )的离心率 .则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 9. 已知函数 在区间 上单调,且函数 的图象关于 对称.若数列 是公差不为0的等差数列.且 ,则数列 的前100项的和为( ) A.-200 B. -100 C. 0 D.-50 10. 已知椭圆和双曲线有共同焦点 , , 是它们的一个交点,且 ,记椭圆和双曲线的离心率分别 , ,则 的最大值是( ) A. B. C.2 D.3 11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:任给一个正整数 ,如果 是偶数,就将它减半(即 );如果 是奇数,则将它乘3加1(即 ),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数 (首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注:1可以多次出现),则 的所有不同值的个数为( ) A.4 B. 5 C. 6 D.7 12. 已知函数 (其中 , 为自然对数的底数)在 处取得极大值,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4的小题,每小题5分 13. 已知向量 满足 , , ,则向量 夹角的余弦值为 . 14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (�。┠醒�生人数多于女学生人数; (��)女学生人数多于青年教师人数; (�#┣嗄杲淌θ耸�的两倍多于男学生人数 若青年教师人数为3,则该宣讲小组总人数为 . 15. 若实数 满足 则 的最大值是 . 16. 已知在三棱锥 中, , ,底面 为等边三角形,且平面 平面 ,则三棱锥 外接球的表面积为 . 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知 的内角 的对边分别为 ,且 . (1)求 ; (2)若 , ,求 和 . 18.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在 市的普及情况, 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到如下表格:(单位:人)
经常使用网络外卖 偶尔或不使用网络外卖 合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计 110 90 200 (1)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关? (2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率; ②将频率视为概率,从 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为 ,求 的数学期望和方差. 参考公式: ,其中 . 参考数据: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19.如图,已知斜三棱柱 :的底面是直角三角形, ,点 在底面内的射影恰好是棱BC的中点,且 . (1)求证:平面 平面 ; (2)若二面角 的余弦值为 ,求斜三棱柱 的高. 20. 已知右焦点为 的椭圆 ( )过点 ,且椭圆 关于 直线 对称的图形过坐标原点. (1)求椭圆 的方程; (2)过点 作直线 与椭圆 交于点 (异于椭圆 的左、右顶点),线段 的中点为 .点 是椭圆 的右顶点.求直线 的斜率 的取值范围. 21. 已知函数 ( , 为自然对数的底数, ). (1)若函数 仅有一个极值点,求实数 的取值范围; (2)证明:当 时, 有两个零点 ( ).且满足 . 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 .的极坐标方程是 ,点 是曲线 上的动点.点 满足 ( 为极点).设点 的轨迹为曲线 .以极点 为原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系 ,已知直线 的参数方程是 ,( 为参数). (1)求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程; (2)设直线 交两坐标轴于 , 两点,求 面积的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数 . (1)求不等式 的解集 ; (2)若 , ,证明: .
文科数学 一、选择题 1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12:DD 二、填空题 13. 14. 12 15. 1 16. 三、解答题 17. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 , 由余弦定理,得 , 故 . 因为 , 所以 . (2)由 , 得 , 由 ,得 , 故由正弦定理得 , . 18.解:(1)由列联表,可知 的观测值 , 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关. (2)①依题意,可知所抽取的5名女网民中,经常使用网络外卖的有 人,偶尔或不用网络外卖的有 人. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为 . ②由 列联表,可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为 , 将频率视为概率,即从 市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 . 由题意得 , 所以 ; . 19.解:(1)取 的中点 ,连接 ,则由题意知 平面 . ∵ 平面 ,∴ . 又 ,且 , ∴ 平面 . ∵ 平面 , ∴平面 平面 . (2)以 为原点, , 的方向为 轴, 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 设 ,又 ,则 , , , , , 则 , , . 设平面 的法向量为 , ∴ 令 ,得 . 同理,得平面 的一个法向量为 . ∵二面角 的余弦值为 , ∴ , 整理得 , 解得 ,即 , ∴斜三棱柱的高为 . 20.解:(1)∵椭圆 过点 . ∴ ,① ∵椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点, ∴ , ∴ ,② 由①②得 , , ∴椭圆 的方程为 . (2)依题意,直线 过点 ,且斜率不为零, ∴可设其方程为 . 联立方程组 消去 并整理, 得 . 设 , , , 则 . ∴ , ,∴ . ①当 时, ; ②当 时, , ∵ ,∴ , ∴ ,且 . 综合①②,可知直线 的斜率 的取值范围是 . 21.解:(1) , 由 ,得 或 因为 仅有一个极值点, 所以关于 的方程 必无解, ①当 时, 无解,符合题意; ②当 时,由 ,得 , 故由 ,得 . 故当 时,若 , 则 ,此时 为减函数, 若 ,则 ,此时 为增函数, 所以 为 的唯一极值点, 综上,可得实数 的取值范围是 . (2)由(1),知当 时, 为 的唯一极值点,且是极小值点, 又因为当 时, , , , 所以当 时, 有一个零点 , 当 时, 有另一个零点 , 即 , 且 , .① 所以 . 下面再证明 ,即证 . 由 ,得 , 因为当 时, 为减函数, 故只需证明 , 也就是证明 , 因为 , 由①式, 可得 . 令 , 则 . 令 , 因为 为区间 上的减函数,且 ,所以 ,即 在区间 上恒成立, 所以 在区间 上是减函数,即 ,所以 , 即证明 成立, 综上所述, . 22.解:(1)在极坐标系中,设点 . 由 ,得 , 代入曲线 的方程 并整理, 得 , 再化为直角坐标方程,得 , 即曲线 的直角坐标方程为 . 直线 的参数方程 ( 为参数)化为普通方程是 . (2)由直线 的方程为 ,可知 . 因为点 在曲线 上, 所以设 , , 则点 到直线 的距离 即为底边 上的高, 所以 ,其中 , 所以 , 所以 , 所以 面积的最大值为 . 23.解:(1) 由 得 , ∴
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