2018高三数学理3月联考试题茂名市附答案.docx

2018高三数学（理）3月联考试题（茂名市附答案） 茂名市五大联盟学校三月联考 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ） A． B． C． D． 3. 给出下列命题： ①若 ，则 ② ， ； ③函数 的图象关于点 成中心对称； ④若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为（ ） A．1 B．2 C． 3 D． 4 4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有（ ） A．520 B．360 C. 241 D．134 5. 函数 的部分图象大致为（ ） A． B． C. D． 6. 在 的展开式中， 项的系数为（ ） A．200 B．180 C. 150 D．120 7. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A． B． C. D． 8. 若焦点在 轴上的椭圆 （ ）的离心率 .则实数 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 9. 已知函数 在区间 上单调，且函数 的图象关于 对称.若数列 是公差不为0的等差数列.且 ，则数列 的前100项的和为（ ） A．-200 B． -100 C. 0 D．-50 10. 已知椭圆和双曲线有共同焦点 , , 是它们的一个交点,且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别 ， ，则 的最大值是（ ） A． B． C.2 D．3 11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半(即 )；如果 是奇数，则将它乘3加1(即 )，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数 (首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则 的所有不同值的个数为（ ） A．4 B． 5 C. 6 D．7 12. 已知函数 (其中 ， 为自然对数的底数)在 处取得极大值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4的小题，每小题5分 13. 已知向量 满足 ， ， ，则向量 夹角的余弦值为 ． 14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （�。┠醒�生人数多于女学生人数； （��）女学生人数多于青年教师人数； （�＃┣嗄杲淌θ耸�的两倍多于男学生人数 若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ． 15. 若实数 满足 则 的最大值是 ． 16. 已知在三棱锥 中， ， ，底面 为等边三角形，且平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 和 . 18.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如下表格：(单位：人)
经常使用网络外卖 偶尔或不使用网络外卖 合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计 110 90 200 （1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关? （2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率； ②将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差. 参考公式： ，其中 . 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19.如图，已知斜三棱柱 ：的底面是直角三角形， ，点 在底面内的射影恰好是棱BC的中点，且 . （1）求证：平面 平面 ； （2）若二面角 的余弦值为 ，求斜三棱柱 的高. 20. 已知右焦点为 的椭圆 （ ）过点 ，且椭圆 关于 直线 对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于点 (异于椭圆 的左、右顶点)，线段 的中点为 .点 是椭圆 的右顶点.求直线 的斜率 的取值范围. 21. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数， ）. （1）若函数 仅有一个极值点，求实数 的取值范围； （2）证明：当 时， 有两个零点 （ ）.且满足 . 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 .的极坐标方程是 ，点 是曲线 上的动点.点 满足 ( 为极点).设点 的轨迹为曲线 .以极点 为原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系 ，已知直线 的参数方程是 ，( 为参数). （1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程； （2）设直线 交两坐标轴于 ， 两点，求 面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集 ； （2）若 ， ，证明： .
文科数学 一、选择题 1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12：DD 二、填空题 13. 14. 12 15. 1 16. 三、解答题 17. 解：（1）由已知，根据正弦定理得 ， 由余弦定理，得 ， 故 . 因为 ， 所以 . （2）由 ， 得 ， 由 ，得 ， 故由正弦定理得 ， . 18.解：（1）由列联表，可知 的观测值 ， 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有 人，偶尔或不用网络外卖的有 人. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为 . ②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为 ， 将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 . 由题意得 ， 所以 ； . 19.解：（1）取 的中点 ，连接 ，则由题意知 平面 . ∵ 平面 ，∴ . 又 ，且 ， ∴ 平面 . ∵ 平面 ， ∴平面 平面 . （2）以 为原点， ， 的方向为 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，又 ,则 ， ， ， ， ， 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ， ∴ 令 ，得 . 同理，得平面 的一个法向量为 . ∵二面角 的余弦值为 ， ∴ ， 整理得 ， 解得 ，即 ， ∴斜三棱柱的高为 . 20.解：（1）∵椭圆 过点 . ∴ ，① ∵椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点， ∴ ， ∴ ，② 由①②得 ， ， ∴椭圆 的方程为 . （2）依题意，直线 过点 ，且斜率不为零， ∴可设其方程为 . 联立方程组 消去 并整理， 得 . 设 ， ， ， 则 . ∴ ， ，∴ . ①当 时， ； ②当 时， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，且 . 综合①②，可知直线 的斜率 的取值范围是 . 21.解：（1） ， 由 ，得 或 因为 仅有一个极值点， 所以关于 的方程 必无解， ①当 时， 无解，符合题意； ②当 时，由 ，得 ， 故由 ，得 . 故当 时，若 ， 则 ，此时 为减函数， 若 ，则 ，此时 为增函数， 所以 为 的唯一极值点， 综上，可得实数 的取值范围是 . （2）由（1），知当 时， 为 的唯一极值点，且是极小值点， 又因为当 时， ， ， ， 所以当 时， 有一个零点 ， 当 时， 有另一个零点 ， 即 ， 且 ， .① 所以 . 下面再证明 ，即证 . 由 ，得 ， 因为当 时， 为减函数， 故只需证明 ， 也就是证明 ， 因为 ， 由①式， 可得 . 令 ， 则 . 令 ， 因为 为区间 上的减函数，且 ，所以 ，即 在区间 上恒成立， 所以 在区间 上是减函数，即 ，所以 ， 即证明 成立， 综上所述， . 22.解：（1）在极坐标系中，设点 . 由 ，得 ， 代入曲线 的方程 并整理， 得 ， 再化为直角坐标方程，得 ， 即曲线 的直角坐标方程为 . 直线 的参数方程 ( 为参数)化为普通方程是 . （2）由直线 的方程为 ，可知 . 因为点 在曲线 上， 所以设 ， ， 则点 到直线 的距离 即为底边 上的高， 所以 ，其中 ， 所以 ， 所以 ， 所以 面积的最大值为 . 23.解：（1） 由 得 ， ∴

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