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海淀区高三年级第二学期适应性练习 数学（理科） 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 3.执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ） A．1 B．3 C．7 D．15 4.在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A． （ ）和 B． （ ）和 C． （ ）和 D． （ ）和 5.设 ， 为两个非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.设不等式组 表示的平面区域为 ，若函数 （ ）的图象上存在区域 上的点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ） A．4 B． C． D． 8.已知函数 满足如下条件：①任意 ，有 成立；②当 时， ；③任意 ，有 成立． 则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.复数 在复平面内对应的点的坐标为 ． 10.抛物线 的焦点到双曲线 的渐进线的距离是 ． 11.在锐角 中，角 ， 所对的边长分别为 ， ，若 ，则角 等于 ． 12.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若数列 满足 ，则使数列 的前 项和取最大值时的 的值为 ． 13.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 种． 14.已知正方体 的棱长为2，长度为2的线段 的一个端点 在棱 上运动，另一个端点 在正方形 内运动，则 中点的轨迹与正方体 的表面所围成的较小的几何体的体积等于 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数 （ ）的最小正周期为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 的单调递增区间． 16. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点，将 沿 折起，使得 ． （Ⅰ）若 是 的中点，求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 ； （Ⅲ）求二面角 的大小． 17.某公司准备将 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润 （万元）的概率分布列如表所示： 110 120 170 0.4
且 的期望 ；若投资乙项目一年后可获得的利润 （万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为 （ ）和 ．若乙项目产品价格一年内调整次数 （次数）与 的关系如表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）求 的分布列； （Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求 的取值范围． 18.已知椭圆 ： 的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程和长轴长； （Ⅱ）设 为椭圆 的左焦点， 为直线 上任意一点，过点 作直线 的垂线交椭圆 于 ， ，记 ， 分别为点 和 到直线 的距离，证明： ． 19.已知函数 ． （Ⅰ）若曲线 与直线 相切于点 ，求点 的坐标； （Ⅱ）当 时，证明：当 ， ． 20.已知数集 （ ， ）具有性质 ：对任意的 （ ）， ， （ ），使得 成立． （Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由； （Ⅱ）求证： （ ）； （Ⅲ）若 ，求数集 中所有元素的和的最小值．
精华学校2016-2017学年全日制第三次月考数学（理科）测试卷答案 一、选择题 1-5: 6-8: 二、填空题 9. 10. 11. 12.9或10 13.36 14. 三、解答题 15.解：（Ⅰ） ． 因为 的最小正周期为 ，且 ， 从而有 ，故 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 令 ， ， 所以有 ， ， 所以有 ， ． 所以 的单调递增区间为 ， ． 16.（Ⅰ）证明：连接 交 于点 ，连接 ， 在正方形 中， 为 的中点，又因为 为 的中点， 所以 为 的中位线， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （Ⅱ）证明：由已知可得 ， ， 又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 ． （Ⅲ）由（Ⅱ）知 平面 ，所以 ，又因为 ，且 ， 所以 平面 ， 所以以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 所以 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 所以 即 令 ，则 ，从而 ， 同理可求得平面 的一个法向量为 ， 设二面角 的大小为 ，易知 ， 所以 ，所以 ， 所以二面角 的大小为 ． 17.解：（Ⅰ）由题意得 解得 ， ． （Ⅱ） 的可能取值为 ， ， ， ， ， ， 所以 的分布列为： 41.2 117.6 204
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ， 由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润， 所以 ， 所以 ， 解得 ，所以 的取值范围是 ． 18.解：（Ⅰ）由题意可知 解得 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 ，椭圆 的长轴长为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ， 则直线 的斜率 ， 当 时，直线 的斜率 ，直线 的方程是 ， 当 时，直线 的方程是 ，也符合 的形式， 设 ， ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立， 得 消去 ，得 ， 其判别式 ， 所以 ， ， ， 设 为线段 的中点，则点 的坐标为 ， 所以直线 的斜率 ， 又直线 的斜率 ， 所以点 在直线 上， 由三角形全等的判定和性质可知： ． 19.解：（Ⅰ）设点 的坐标为 ， ， 由题意知 解得 ，所以 ， 从而点 的坐标为 ． （Ⅱ）设函数 , ， ， 设 ， ，则 ， ①当 时，因为 ，所以 ，所以 ， 所以 在区间 上单调递增，所以 ； ②当 时，令 ，则 ， 所以 ， ； ， ． 所以 ， 由①②可知： 时，有 ， 所以有：
极小值
所以 ，从而有当 时， ． 20.解：（Ⅰ）因为 ，所以 不具有性质 ． 因为 ， ， ，所以 具有性质 ． （Ⅱ）因为集合 具有性质 ： 即对任意的 （ ）， ， （ ），使得 成立， 又因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， ，所以 ， 即 ， ， ，…， ， ， 将上述不等式相加得 ， 所以 . （Ⅲ）最小值为147． 首先注意到 ，根据性质 ，得到 ， 所以易知数集 的元素都是整数． 构造 或者 ，这两个集合具有性质 ，此时元素和为 ． 下面，我们证明 是最小的和． 假设数集 （ ， ），满足 最小（存在性显然，因为满足 的数集 只有有限个）． 第一步：首先说明集合 （ ， ）中至少有8个元素： 由（Ⅱ）可知 ， ，…… 有 ，所以 ， ， ， ， ， ， 所以 ． 第二步：证明 ， ， ： 若 ，设 ，因为 ，为了使得 最小，在集合 中一定不含有元素 使得 ，从而 ； 假设 ，根据性质 ，对 ，有 ， ，使得 ， 显然 ，所以 ， 而此时集合 中至少还有5个不同于 ， ， 的元素， 从而 ，矛盾， 所以 ，进而 ，且 ； 同理可证： ， ． （同理可证明：若 ，则 ， 假设 ． 因为 ，根据性质 ，有 ， ，使得 ， 显然 ，所以 ， 而此时集合 中至少还有4个不同于 ， ， ， 的元素， 从而 ，矛盾， 所以 ，且 ． 同理可以证明：若 ，则 ， 假设 ， 因为 ，根据性质 ，有 ， ，使得 ， 显然 ，所以 ， 而此时集合 中至少还有3个不同于 ， ， ， ， 的元素， 从而 ，矛盾， 所以 ，且 ．） 至此，我们得到了 ， ， ． 根据性质 ，有 ， ，使得 ． 我们需要考虑如下几种情形： ① ， ，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素 ，才能得到元素8，则 ； ② ， ，此时集合中至少还需要一个大于4的元素 ，才能得到元素7，则 ； ③ ， ，此时集合 的和最小，为147； ④ ， ，此时集合 的和最小，为147．
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