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“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题 （考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列 的通项公式为 ，则 的第 项是（ ） A． B． C． D． 2．在 中， , , ,则 等于（ ） A． B． C． D． 3. 等比数列 的前 项和 则 的值为（ ） A . B. C . D. 4. 在 中， 分别是角 的对边，若 ， 则 的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.各项均为正数的等比数列 ，前 项和为 ，若 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金�(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金�，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金�由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 7.若实数 满足 ，则 的最小值为( ) A． B． C． D． 8.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. 或 D. 9.已知正数 的等差中项是 ，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 10. 若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 11.如图，某景区欲在两山顶 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 ， ,在水平面上 处测得山顶 的仰角为 ，山顶 的仰角为 ， , 则两山顶 之间的距离为（ ） A． B． C． D．
12. 中，角 的对边长分别为 ，若 ，则 的最大值为 ( ) A．1 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知 ，则 的最小值为_______________． 14.已知 中， ， ， ，则 面积为_______ __. 15. 在数列 中，已知 ， ，记 为数列 的前 项和，则 ________. 16．已知首项为2的正项数列 的前 项和为 ，且当 时， ．若 恒成立，则实数 的取值范围为__________ _____．
三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）． 设 是公比为正数的等比数列，若 ， 且 ， ， 成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设 ，求证：数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分12分） 已知关于 的不等式 的解集为 ． （1）求 的值； （2）解关于 的不等式 ．
19．（本小题满分12分） 在 中，角 的对边分别为 ，若 ． （1）求角 ； （2）若 的面积为 ， ，求 的值．
20．（本小题满分12分） 在 中，设角 , , 的对边分别为 , , ，已知 （1）求角 的大小； （2）若 ，求 周长的取值范围.
21．（本小题满分12分） 已知数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）若 ， ，求 成立的正整数 的最小值．
22．（本小题满分12分） 某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船； 方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B C A D A C B A D 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13、 14、 15、 16、 三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分） 17、解：(1)设等比数列 的公比为 ， ∵ ， ， 成等差数列 ∴ 即 ，……………………………（2分） 即 ，解得 或 (舍去)，∴ .……………………………（4分） 所以 的通项为 ( ) ……………………………（5分） (2)由上知 ∵ ， ∴ ， ……………………………（7分） ∴ ……………………………（9分） ∴ ……………………………（10分） 即数列 的前 项和为 ．
18、解：（1）由题意知： 且 和 是方程 的两根，……………………………（2分） 由根与系数的关系有 ，解得 ……………………………（6分） （2）不等式 可化为 ， 即 ． ……………………………（8分） 其对应方程的两根为 ①当 即 时，原不等式的解集为 ；……………………………（9分） ②当 即 时，原不等式的解集为 ；……………………………（10分） ③当 即 时，原不等式的解集为 ； ……………………………（11分） 综上所述：当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； ……………………………（12分）
19、解：（1）（法一）：在 中，由正弦定理得 ∴ ……………………………（2分） 又 ，∴ ， ∴ ……………………………（4分） ∴ ……………………………（5分） ， 故 ……………………………（6分） （法二）由余弦定理得 ………………………（2分） ∴ ……………………………（3分） ∴ , ……………………………（5分） , 故 ． ……………………………（6分） （2） ，所以 ． ……………………………（7分） 又 ∴由余弦定理得 ∴ ……………………………（9分） 又由正弦定理知 ……………………………（10分） ∴ 即 ∴ ……………………………（12分） 20、（1）由题意知 ……………………………（1分） 即 ……………………………（2分） 由正弦定理得 ……………………………（3分） 由余弦定理得 …………………………… （4分） 又 ， 故 …………………………… （5分） （2）（法一）：由上知 ， ∴由余弦定理有 ，……………………………（6分） 又 ，∴ ， ……………………………（7分） 又∵ ∴ ，(当且仅当 时取等号) ……………………………（8分） ∴ ， 即 解得 ，(当且仅当 时取等号) ……………………………（10分） 又∵三角形两边之和大于第三边,即 ∴ ……………………………（11分） ∴ ……………………………（12分） 所以 的周长的范围为 （法二）由正弦定理知 ∴ , ……………………………（6分） 又 则 的周长 …………………………（8分） ∵ ∴ ∴ ……………………………（10分） ∴ ， 所以 的周长的范围为 .……………………………（12分）
21、解：（1）由 ………① 当 时， ………② ……………………………（2分） ①�C②得 即 ……………………………（3分） 当 时， 也满足上式 ……………………………（4分） ∴ ……………………………（5分） (2)由(1)得, , ……………………………（6分） 所以 ………① ∴ ………② ……………………………（7分） ①－②，得 ……………………………（9分） 依题意 ，即 即 成立， ……………………………（10分） 又当 时, , 当 时, . ……………………………（11分） 故使 成立的正整数 的最小值为5. ……………………………（12分）
22、解：（1）设第n年开始获利，获利为y万元， 由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列， 故n年的总费用为 ． ……………………………（2分） ∴获利为 ……………………………（4分） 由 即 解得 ……………………………（5分） ∵n∈N*，∴n＝4时，即第4年开始获利． ……………………………（6分） （2）方案一：n年内年平均获利为 ． 由于 ，当且仅当n＝9时取“＝”号． ∴ （万元）． 即前9年年平均收益最大，此时总收益为12×9＋46＝154（万元）．……………………………（9分） 方案二：总纯收入获利 ． ∴ 当n＝15时， 取最大值144，此时总收益为144＋10＝154（万元）． ……………………………（11分） ∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短， ∴方案一较合算． ……………………………（12分）
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