1、 注:设RtABC的各边长分别为a、b、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式: (1) ; (2) 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图,在RtABC中,C=90,BC=5,O与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若O的半径r2,则RtABC的 周长为 思路点拨 AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可【例2】 如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:四边形ANPD
2、是梯形;ON=NP:DPP C为定值; FA为NPD的平分线,其中一定成立的是( ) A B C D 思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NPADBC是解本例的关键【例3】 如图,已知 ACP=CDE=90,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于F,求证:F为CDE的内心 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 连CF、DF,即需证F为CDE角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将问题转化 为角相等问题的证明【例4】 如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AB=BC=1
3、,以AB为直径作半圆O切CD于E,连结OE,并延长交AD的延长线于F (1)问BOZ能否为120,并简要说明理由; (2)证明AOFEDF,且 ; (3)求DF的长思路点拨 分解出基本图形,作出基本辅助线(1)若BOZ=120,看能否推出矛盾;(2)把计算与推理融合;(3)把相应线段用DF的代数式表示,利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程注: 如图,在直角梯形ABCD中,若AD+BC=CD,则可得到应用广泛的两个性质: (1)以边AB为直径的圆与边CD相切; (2)以边CD为直径的圆与边AB相切 类似地,三角形三条中线的交点叫三角形的重心,三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心
4、、垂心、重心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置上,有着丰富的性质,在解题中有广泛的应用 【例5】 如图,已知RtABC中,CD是斜边AB上的高,O、O1、O2分别是ABC;ACD、BCD的角平分线的交点,求证:(1) O1OC O2;(2)OC= O1O2 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 在直角三角形中,斜边上的高将它分成 的两个直角三角形和原三角形相似,得对应角相等,所以通过证交角为90的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相 等学力训练 1如图,已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm 2如图,在直角,坐标系中A、B的坐标分别
5、为(3,0)、(0,4),则RtABO内心的坐标是 3如图,梯形ABCD中,ADBC, DCBC,AB=8,BC=5,若以AB为直径的O与DC相切于E,则DC= (云南省曲靖市中考题)4如图,O为ABC的内切圆,C=90,A O的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则O的半径等于( ) A B C D (重庆市中考题) 5如图,在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,以CD为直径的半圆O切AB于点E,这个梯形的面积为21cm2,周长为20cm,那么半圆O的半径为( ) A3cm B7cm C 3cm或7cm D 2cm 6如图,ABC中,内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF,则
6、以下四个结论中,错误的结论是( ) A点O是DEF的外心 BAFE= (B+C) CBOC=90+ A DDFE=90一 B 7如图,BC是O的直径,AB、AD是O的切线,切点分别为B、P,过C点的切线与AD交于点D,连结AO、DO (1)求证:ABOOCD; (2)若AB、CD是关于x的方程 的两个实数根,且SABO+ SOCD=20,求m的值8如图,已知AB是O的直径,BC是O的切线,OC与O相交于点D,连结AD并延长,BC相交于点E (1)若BC= ,CD=1,求O的半径; (2)取BE的中点F,连结DF,求证:DF是O的切线; (3)过D点作DGBC于G,OG与DG相交于点M,求证:D
7、MGM 9如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB为O的直径,动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm秒的速度运动,动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm秒的速度运动,点P、Q分别从A、C两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动 (1)求O的直径; (2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式,并求当四边形PQCD为等腰梯形时,四边形PQCP的面积; (3)是否存在某时刻t,使直线PQ与O相切,若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由 (2002年烟台市中考题) 10已知在ABC中,C=90,AC=4,
8、BC=3,CD为AB上的高,Ol、O2分别为ACD、BCD的内心,则OlO2= 11如图,在ABC中,C=90,A和B的平分线相交于P点,又PEAB于点E,若BC=2,AC=3,则AEEB= 12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的( ) A内心 B外心 C圆心 D重心 13如图,AD是ABC的角平分线,O过点AB和BC相切于点P,和AB、AC分别交于点E,F,若BD=AE,且BE=a,CF=b,则AF的长为( ) A B C D 14如图,在矩形ABCD中,连结AC,如果O为ABC的内心,过O作OEAD于E,作OFCD于F,则矩形OFDE的面积与矩形ABC
9、D的面积的比值为( ) A B C D不能确定 (学习报公开赛试题) 15如图,AB是半圆的直径,AC为半圆的切线,AC=AB在半圆上任取一点D,作DECD,交直线AB于点F,BFAB,交线段AD的延长线于点F (1)设AD是x的弧,并要使点E在线段BA的延长线上,则x的取值范围是 ; (2)不论D点取在半圆什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予证明 16如图,ABC的三边满足关系BC= (AB+AC),O、I分别为ABC的外心、内心, BAC的外角平分线交O于E,AI的延长线交O于D,DE交BC于H 求证:(1)AI=BD;(2)OI= AE17如图,已知AB是O的直径,BC是O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DEAB于点E,连结AC,与DE交于点F,问EP与PD是否相等?证明你的结论18如图,已知点P在半径为6,圆心角为90的扇形OAB的AB(不含端点)上运动,PHOA于H,OPH的重心为G (1)当点P在AB上运动时,线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出并求出其相应的长度; (2)设PH= x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并指出自变量x的取值范围; (3)如果PGH为等腰三角形,试求出线段PH的长20 20