九年级数学竞赛从三角形的内切圆谈起强化辅导讲座.docx

注：设RtABC的各边长分别为a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1) ； (2) 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在RtABC中，C=90，BC=5，O与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若O的半径r2，则RtABC的 周长为 思路点拨 AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可【例2】 如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：四边形ANPD是梯形；ON=NP：DPP C为定值； FA为NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A B C D 思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NPADBC是解本例的关键【例3】 如图，已知 ACP=CDE=90，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为CDE的内心 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 连CF、DF，即需证F为CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化 为角相等问题的证明【例4】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F (1)问BOZ能否为120，并简要说明理由； (2)证明AOFEDF，且 ； (3)求DF的长思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线(1)若BOZ=120，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程注： 如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以边AB为直径的圆与边CD相切； (2)以边CD为直径的圆与边AB相切 类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用 【例5】 如图，已知RtABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是ABC；ACD、BCD的角平分线的交点，求证：(1) O1OC O2；(2)OC= O1O2 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 在直角三角形中，斜边上的高将它分成 的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相 等学力训练 1如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm 2如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则RtABO内心的坐标是 3如图，梯形ABCD中，ADBC， DCBC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的O与DC相切于E，则DC= (云南省曲靖市中考题)4如图，O为ABC的内切圆，C=90，A O的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则O的半径等于( ) A B C D (重庆市中考题) 5如图，在梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为( ) A3cm B7cm C 3cm或7cm D 2cm 6如图，ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是( ) A点O是DEF的外心 BAFE= (B+C) CBOC=90+ A DDFE=90一 B 7如图，BC是O的直径，AB、AD是O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连结AO、DO (1)求证：ABOOCD； (2)若AB、CD是关于x的方程 的两个实数根，且SABO+ SOCD=20，求m的值8如图，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC与O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E (1)若BC= ，CD=1，求O的半径； (2)取BE的中点F，连结DF，求证：DF是O的切线； (3)过D点作DGBC于G，OG与DG相交于点M，求证：DMGM 9如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动 (1)求O的直径； (2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP的面积； (3)是否存在某时刻t，使直线PQ与O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由 (2002年烟台市中考题) 10已知在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，Ol、O2分别为ACD、BCD的内心，则OlO2= 11如图，在ABC中，C=90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于点E，若BC=2，AC=3，则AEEB= 12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的( ) A内心 B外心 C圆心 D重心 13如图，AD是ABC的角平分线，O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为( ) A B C D 14如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为ABC的内心，过O作OEAD于E，作OFCD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为( ) A B C D不能确定 (学习报公开赛试题) 15如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB在半圆上任取一点D，作DECD，交直线AB于点F，BFAB，交线段AD的延长线于点F (1)设AD是x的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是 ； (2)不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明 16如图，ABC的三边满足关系BC= (AB+AC)，O、I分别为ABC的外心、内心， BAC的外角平分线交O于E，AI的延长线交O于D，DE交BC于H 求证：(1)AI=BD；(2)OI= AE17如图，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?证明你的结论18如图，已知点P在半径为6，圆心角为90的扇形OAB的AB(不含端点)上运动，PHOA于H，OPH的重心为G (1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度； (2)设PH= x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围； (3)如果PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长20 20