2018高三数学理第一次联考试题湖南十四校含答案.docx

2018高三数学（理）第一次联考试题(湖南十四校含答案) 2018届高三•十四校联考 第一次考试 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 2.已知全集为 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ ”“ ”“ ”“ ”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A． B． C． D． 4.若双曲线 的焦距为 ，则 等于（ ） A． 或 B． C. D． 5.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C. D． 6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ） A． B． C. D． 7.已知函数 为偶函数，当 时， ，且 为奇函数，则 （ ） A． B． C. D． 8.已知一个棱长为 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． B． C. D． 9.若 ， ， ， ，则 ， ， 这三个数的大小关系正确的是（ ） A． B． C. D． 10.函数 的部分图象如图所示，已知 ， ，且 ，则 等于（ ） A． B． C. D． 11.若对于函数 图象上任意一点处的切线 ，在函数 的图象上总存在一条切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 12.如图，已知椭圆 ，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，连接 ， 并延长分别交 于 、 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 ， .则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线 ， 的斜率分别为 、 ，则 的大小是定值为 ； ② 的面积 是定值 ； ③线段 、 长度的平方和 是定值 ； ④设 ，则 . A． 个 B． 个 C. 个 D． 个 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ， ，若 ，则 ． 14.已知 为常数，且 ，则 的二项展开式中的常数项为 ． 15.已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是最小值的 倍，则 ． 16.已知数列 满足： ， .设 是等差数列，数列 是各项均为正整数的递增数列，若 ，则 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数 . （Ⅰ）求函数 的递增区间； （Ⅱ）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，若 ， ，且 ，求 的面积. 18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 5 8 8 10 14 15 17 （Ⅰ）经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； （Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取 元购物券；抽中“二等奖”可领取 元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为 ，获得“二等奖”的概率为 .现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额 的分布列及数学期望. 参考公式： ， ， . 19. 如图，在梯形 中， ， ， ， ，四边形 是菱形， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的正切值. 20. 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 倍，且点 在椭圆 上. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 点的 、 两点， 与直线 交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 .试探究 与 的关系，并证明你的结论. 21. 已知函数 （其中 且 为常数， 为自然对数的底数， ）. （Ⅰ）若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围； （Ⅱ）当 时，若 （其中 ）恒成立，求 的最小值 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，求 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）若不等式 有解，求实数 的最大值 ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明： .
试卷答案 一、选择题 1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12：DA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为： . 由 ， 得函数 的递增区间为 . （Ⅱ）因为 ，即 ，所以 ， 因为 是三角形的内角，所以 ， 又因为 ，由正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， ，由余弦定理得 . 所以， ，故 的面积为 . 18.【解析】（Ⅰ）依题意： ， ， ， ， ， ， 则 关于 的线性回归方程为 . （Ⅱ）二人所获购物券总金额 的可能取值有 、 、 、 、 元，它们所对应的概率分别为： ， ， ， ， . 所以，总金额 的分布列如下表： 0 300 600 900 1200
总金额 的数学期望为 元. 19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形 中， ， ， ∵ ，∴ 即 ， ∵ ，∴ ，而 ，∴ . 连接 ，∵四边形 是菱形，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ . （Ⅱ）取 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，且 . 所以由平面几何易知 ，∵ ，∴ . 故此可以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为： ， ， ， ， ， . 设平面 和平面 的法向量分别为 ， ， ∵ ， . ∴由 ，令 ，则 ， 同理，求得 . ∴ ，故二面角 的平面角的正切值为 . 20.【解析】（Ⅰ）因为椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为 ， ，所以依题意有： ， ∵ ，∴ .故可设椭圆 的方程为： ， 因为点 在椭圆 上，所以将其代入椭圆 的方程得 . ∴椭圆 的方程为 . （Ⅱ）依题意，直线 不可能与 轴垂直，故可设直线 的方程为： 即 ， ， 为 与椭圆 的两个交点. 将 代入方程 化简得： . 所以 ， . . 又由 ，解得 ， ， 即 点的坐标为 ，所以 . 因此， 与 的关系为： . 21.【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 ，其导数为 . 由 或 ， 设 ，∵ ，∴当 时， ；当 时， . 即 在区间 上递增，在区间 上递减，∴ ， 又当 时， ，当 时， 且 恒成立. 所以，当 或 时，方程 无根，函数 只有 一个极值点. 当 时，方程 的根也为 ，此时 的因式 恒成立， 故函数 只有 一个极值点. 当 时，方程 有两个根 、 且 ， ，∴函数 在区间 单调递减； 单调递增； 单调递减； 单调递增，此时函数 有 、 、 三个极值点. 综上所述，当 或 时，函数 只有一个极值点. （Ⅱ）依题意得 ，令 ，则对 ，都有 成立. 因为 ，所以当 时，函数 在 上单调递增， 注意到 ，∴若 ，有 成立，这与 恒成立矛盾； 当 时，因为 在 上为减函数，且 ，所以函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，∴ ， 若对 ，都有 成立，则只需 成立， ， 当 时，则 的最小值 ，∵ ，∴函数 在 上递增，在 上递减，∴ ，即 的最小值 的最大值为 ； 综上所述， 的最小值 的最大值为 . 请考生在第（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【解析】（Ⅰ）∵ 且 ，∴由 得 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）设 是曲线 上的任意一点， 由 消去 得 ，知曲线 为直线 . 设 到 的距离为 ，则 （当且仅当 取“=”）， 故 的最小值为 . 23.【解析】（Ⅰ）若不等式 有解，只需 的最大值 即可. 因为 ，所以 ，解得 ， 所以实数 的最大值 . （Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数 ， 满足 ，由柯西不等式可知 ， 所以， ，因为 ， 均为正实数，所以 （当且仅当 时取“=”）.

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