1、 2018高三数学(理)第一次联考试题(湖南十四校含答案) 2018届高三十四校联考 第一次考试 数学(理科)试卷 第卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 满足 ,则 的共轭复数是( ) A B C D 2.已知全集为 ,集合 , ,则 ( ) A B C D 3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“ ”“ ”“ ”“ ”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( ) A B C D 4.若双曲线 的焦距为 ,则 等于( ) A 或 B C. D 5.记
2、为等差数列 的前 项和,若 , ,则 等于( ) A B C. D 6.执行如图所示的程序框图,则其输出的结果是( ) A B C. D 7.已知函数 为偶函数,当 时, ,且 为奇函数,则 ( ) A B C. D 8.已知一个棱长为 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图(单位: )如图所示,则该几何体的体积是( ) A B C. D 9.若 , , , ,则 , , 这三个数的大小关系正确的是( ) A B C. D 10.函数 的部分图象如图所示,已知 , ,且 ,则 等于( ) A B C. D 11.若对于函数 图象上任意一点处的切线 ,在函数 的图象上总存在一条切线 ,使得 ,
3、则实数 的取值范围为( ) A B C. D 12.如图,已知椭圆 ,过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点,连接 , 并延长分别交 于 、 两点,连接 , 与 的面积分别记为 , .则在下列命题中,正确命题的个数是( ) 若记直线 , 的斜率分别为 、 ,则 的大小是定值为 ; 的面积 是定值 ; 线段 、 长度的平方和 是定值 ; 设 ,则 . A 个 B 个 C. 个 D 个 第卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 , ,若 ,则 14.已知 为常数,且 ,则 的二项展开式中的常数项为 15.已知 , 满足约束条件 ,则 的最大值是最
4、小值的 倍,则 16.已知数列 满足: , .设 是等差数列,数列 是各项均为正整数的递增数列,若 ,则 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设函数 . ()求函数 的递增区间; ()在 中, , , 分别为内角 , , 的对边,若 , ,且 ,求 的面积. 18.某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前 天参加抽奖活动的人数进行统计, 表示第 天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下: 1 2 3 4 5 6 7 5 8 8 10
5、 14 15 17 ()经过进一步统计分析,发现 与 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ; ()该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取 元购物券;抽中“二等奖”可领取 元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为 ,获得“二等奖”的概率为 .现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额 的分布列及数学期望. 参考公式: , , . 19. 如图,在梯形 中, , , , ,四边形 是菱形, . ()求证: ; ()求二面角 的平面角的正切值. 20. 已知椭圆 上的点到椭圆一个
6、焦点的距离的最大值是最小值的 倍,且点 在椭圆 上. ()求椭圆 的方程; ()过点 任作一条直线 , 与椭圆 交于不同于 点的 、 两点, 与直线 交于 点,记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 .试探究 与 的关系,并证明你的结论. 21. 已知函数 (其中 且 为常数, 为自然对数的底数, ). ()若函数 的极值点只有一个,求实数 的取值范围; ()当 时,若 (其中 )恒成立,求 的最小值 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立
7、极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . ()求曲线 的直角坐标方程; ()设 为曲线 上的点, 为曲线 上的点,求 的最小值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数 . ()若不等式 有解,求实数 的最大值 ; ()在()的条件下,若正实数 , 满足 ,证明: .试卷答案 一、选择题 1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12:DA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.【解析】()函数的解析式可化为: . 由 , 得函数 的递增区间为 . ()因为 ,即 ,所以 , 因为 是三角形的内角,所以 , 又因为 ,由正弦定理得 , 所以 , 所以 , 因为 , ,由
8、余弦定理得 . 所以, ,故 的面积为 . 18.【解析】()依题意: , , , , , , 则 关于 的线性回归方程为 . ()二人所获购物券总金额 的可能取值有 、 、 、 、 元,它们所对应的概率分别为: , , , , . 所以,总金额 的分布列如下表: 0 300 600 900 1200总金额 的数学期望为 元. 19.【解析】()依题意,在等腰梯形 中, , , , 即 , , ,而 , . 连接 ,四边形 是菱形, , , , . ()取 的中点 ,连接 ,因为四边形 是菱形,且 . 所以由平面几何易知 , , . 故此可以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系,各点
9、的坐标依次为: , , , , , . 设平面 和平面 的法向量分别为 , , , . 由 ,令 ,则 , 同理,求得 . ,故二面角 的平面角的正切值为 . 20.【解析】()因为椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为 , ,所以依题意有: , , .故可设椭圆 的方程为: , 因为点 在椭圆 上,所以将其代入椭圆 的方程得 . 椭圆 的方程为 . ()依题意,直线 不可能与 轴垂直,故可设直线 的方程为: 即 , , 为 与椭圆 的两个交点. 将 代入方程 化简得: . 所以 , . . 又由 ,解得 , , 即 点的坐标为 ,所以 . 因此, 与 的关系为: . 21.【
10、解析】()函数 的定义域为 ,其导数为 . 由 或 , 设 , ,当 时, ;当 时, . 即 在区间 上递增,在区间 上递减, , 又当 时, ,当 时, 且 恒成立. 所以,当 或 时,方程 无根,函数 只有 一个极值点. 当 时,方程 的根也为 ,此时 的因式 恒成立, 故函数 只有 一个极值点. 当 时,方程 有两个根 、 且 , ,函数 在区间 单调递减; 单调递增; 单调递减; 单调递增,此时函数 有 、 、 三个极值点. 综上所述,当 或 时,函数 只有一个极值点. ()依题意得 ,令 ,则对 ,都有 成立. 因为 ,所以当 时,函数 在 上单调递增, 注意到 ,若 ,有 成立,
11、这与 恒成立矛盾; 当 时,因为 在 上为减函数,且 ,所以函数 在区间 上单调递增,在 上单调递减, , 若对 ,都有 成立,则只需 成立, , 当 时,则 的最小值 , ,函数 在 上递增,在 上递减, ,即 的最小值 的最大值为 ; 综上所述, 的最小值 的最大值为 . 请考生在第(22)(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.【解析】() 且 ,由 得 , 曲线 的直角坐标方程为 . ()设 是曲线 上的任意一点, 由 消去 得 ,知曲线 为直线 . 设 到 的距离为 ,则 (当且仅当 取“=”), 故 的最小值为 . 23.【解析】()若不等式 有解,只需 的最大值 即可. 因为 ,所以 ,解得 , 所以实数 的最大值 . ()根据()知正实数 , 满足 ,由柯西不等式可知 , 所以, ,因为 , 均为正实数,所以 (当且仅当 时取“=”).20 20