弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析.pdf

第 卷 第 期 年 月应用力学学报 .收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目(.)通信作者:刘文光教授:.引用格式:刘文光庞磊吕志鹏等.弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析.应用力学学报():.():.文章编号:()弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析刘文光庞磊吕志鹏刘超张宇航(.南昌航空大学航空制造工程学院 南昌.哈尔滨工业大学(深圳)理学院 深圳)摘 要:旨在研究热力电载荷下弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动 首先建立弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳动力学模型然后应用三阶剪切变形壳体理论和修正的偶应力理论推出弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳模态频率的解析解最后通过数值算例分析了微圆柱壳模态频率的影响因素 结果表明:弹性支撑比 弹性支撑更有利于提高微圆柱壳的模态频率改变弹性支撑的刚度系数、轴向力、外加电压、孔隙分布、材料体积分数指数和结构尺寸可调节微圆柱壳的模态频率孔隙体积分数越大温度或轴向力对模态频率的影响越大而电压对模态频率的影响则越小不同材料指数下增大孔隙体积分数对模态频率的影响趋势不同弹性支撑会减弱温度、轴向力和电压对模态频率的影响对薄圆柱壳或短圆柱壳模态频率的影响较为显著关键词:功能梯度压电材料弹性支撑孔隙修正的偶应力理论高阶剪切变形理论中图分类号:文献标志码:./.(.):.应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 .:压电材料因为呈脆性一般与弹性基体结合组成多层结构 然而多层结构的分界面会导致应力集中易产生蠕变、裂纹和脱层等各种失效 功能梯度材料()因具有承受高温、去除界面失配等优点能克服以上一系列缺陷 于是研究者将 引入到压电器件的设计中 提出了功能梯度压电材料()因为 具有高机电系数、高柔性度和高屈服强度的优点在压电振动能量俘获等方面具有很多优势围绕 结构的振动、主动控制和屈曲等问题研究者做了很多工作 如果结构尺寸小至微纳米级时其力学性能与宏观结构相比具有显著差异 研究者针对这一问题提出了描述微观结构力学性能的修正偶应力理论 基于修正的偶应力理论 等探究了含孔隙 微板在移动载荷作用下的受迫振动 等运用无网格局部 法分析了 板的静态弯曲行为 等讨论了 弹性支撑微米梁的热致自由振动 考虑大挠度行为以及小尺度效应 等建立了 梁在多场耦合载荷作用下的非线性时变动力学模型 结合高阶剪切变形壳体和修正的偶应力理论 等研究了考虑厚度伸展效应的 微/纳米圆柱壳在均匀温度场和电场作用下的自由振动响应因材料制备或者加工制造等原因 结构内部不可避免地会出现纳米孔洞或孔隙 为了更加准确地分析结构的振动行为有必要在动力学建模中考虑孔隙对 结构振动的影响 考虑三项惯性力并应用 板理论分析了平移状态下含均匀分布孔隙 板的非线性振动响应 采用改进的四变量剪切变形板理论 等研究了多种边界条件下 多孔板的热力电振动特性 应用非局部弹性理论和高阶剪切变形板理论 等探究了热电载荷作用下含孔隙 纳米板的屈曲行为 考虑均匀和非均匀孔隙分布 等用改进的变分法分析了弹性支撑 梁的自由振动和瞬态响应此外考虑结构与周围弹性介质间的作用研究者先后提出了模拟弹性介质的 弹性支撑和 弹性支撑模型 基于弹性支撑模型陆续有研究者讨论了弹性支撑对结构振动特性的影响尽管研究者对含孔隙 结构的振动问题开展了大量的研究但是鲜有文献以修正的偶应力理论为基础探讨弹性支撑 多孔微圆柱壳的振动响应 本研究以 弹性支撑 多孔微圆柱壳为对象基于三阶剪切变形理论建立模型的几何方程以修正的偶应力理论反映微纳米结构所产生的尺度效应进而推导出 微圆柱壳的多场耦合致振动方程对 微圆柱壳的自由振动特性进行分析 研究结果可为压电微纳米器件的动力学设计提供一定的支撑 微圆柱壳模型如图 所示的 弹性支撑 多孔微圆柱壳壳长为 壁厚为 中面半径为 弹性支撑均匀分布在微圆柱壳的外表面其中包括弹性刚度系数为 的弹簧层和剪切刚度系数为 的剪切层 当剪切层刚度系数 等于 时 弹性支撑转化为 弹性支撑 在圆柱壳的中面上建立坐标系、和 轴分别表示壳体的轴向、环向、径向和中性层切线方向、和 分别表示中第 期刘文光等:弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报面上任意点沿、和 方向的位移图 弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳模型.微圆柱壳由两种压电材料按梯度组成内表面为 外表面为 材料特性如表 所示假设材料属性沿厚度方向服从幂律分布同时考虑均匀分布孔隙和非均匀分布孔隙两种孔隙分布则微圆柱壳的有效材料属性表达式为()()()()()()()()式中:和 分别为 型均匀分布孔隙和型非均匀分布孔隙下微圆柱壳的有效材料属性和 分别为壳体内外表面的材料属性 /为 的体积分数指数为孔隙体积分数假设微圆柱壳受到热力电载荷的作用 如图 所示在微圆柱壳内外表面施加热载荷 沿轴向施加静态轴向力 为正表示轴向受拉为负表示轴向受压在内外表面间施加电载荷 为正表示电势方向与微圆柱壳极化方向相同为负则表示相反假定温度变化仅出现在壳体厚度方向根据一维傅里叶热传导方程在壳体厚度方向上的温度梯度可以表示为()()()式中 和 分别为壳内外表面温度假设圆柱壳材料沿厚度方向由内向外表面极化电势沿厚度方向呈二次分布满足 电学方程()()()()式中:()是圆柱壳因弹性变形而产生的感生电势 ()(/)表 和 的材料特性.属性弹性常数/.压电常数/().介电常数/().热模量/().热释电/().密度/()微圆柱壳运动方程基于三阶剪切变形壳体理论圆柱壳的位移场可表示为 ()()()式中:下标中的逗号表示偏导、和 分别为壳内任意点沿、和 方向的位移和 分别表示中面法线沿 和 方向的转角 表示时间假设圆柱壳处于平面应力状态本构关系为 ()()式中:()假定圆柱壳的外表面温度 为零热应力状态()、和 分别 应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报表示应力、应变、电场、电位移和热释电向量、和 分别表示材料弹性常数、压电常数、热模量和介电常数矩阵由修正的偶应力理论得圆柱壳应变能 为/()()式中:和 分别为微圆柱壳 和 方向的正应力为 面内的剪应力和 为 方向的剪应力、和、分别为相应方向上的正应变和剪应变、和 为电场分量、和 为电位移分量和()分别为对称旋转梯度分量和高阶应力分量且有()式中:为描述小尺度效应的材料特征长度为微圆柱壳的有效弹性常数且有 微圆柱壳的动能 为/()()()式中()为微圆柱壳的有效密度热载荷和电载荷做的功 为()()()()式中:和 分别为温度在 和 方向引起的热载荷和 分别为外加电压 在 和 方向引起的电载荷静态轴向力做的功 为 ()()忽略弹性支撑的阻尼和惯性力弹性载荷做的功 为 ()()因此微圆柱壳的能量函数可表示为 ()通过 公式可推出圆柱壳运动方程 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()/()()()各经典和非经典的力和力矩以及广义惯性常数的具体表达式为第 期刘文光等:弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报()/()()/()()/()()/()()/()()()/()(/()()/()()/()()()/()()()微圆柱壳模态频率求解假设微圆柱壳的两端简支那么在任意单一模态下运动控制方程()()的解可假设为()()/()()()/()()()/()()()/()()()/()()()/()()式中:/和 分别为微圆柱壳的轴向半波数和环向波数、和 为振型系数 为角频率将方程()代入运动控制方程可推出微圆柱壳的模态频率方程()()式中:为刚度矩阵、和 分别为温度梯度、静态轴向力 和外加电压 对应的系数矩阵 为质量矩阵 为振型系数向量为便于分析讨论将角频率、静态轴向力和弹性支撑的刚度系数量纲归一化即 /()()()()式中、和 分别为 的弹性模量、密度和泊松比为验证模型的准确性首先将模型退化为纯压电圆柱壳 图 比较了应用本研究方法和应用文献方法所得的结果 与文献不同的是本研究模型应用了三阶剪切变形理论并通过修正的偶应力理论反映了微纳米结构所产生的尺度效应 分析结果发现本研究模型所得结果与文献 和结果误差在 左右且最大误差小于 验证了本研究所采用方法的合理性 进一步将现有模型简化为纳米圆柱壳表 结果与文献对比表明本文模型所得结果与文献和结果比较吻合图 压电圆柱壳模态频率的比较.分析与讨论如无特殊说明本研究微圆柱壳的几何尺寸分别取:/.材料特征长度 孔隙体积分数.体积分数指数 外加电压 无量纲静态轴向力.热载荷 无 量 纲 刚 度 系 数()()应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报表 不同厚度下纳米圆柱壳无量纲模态频率的比较./文献 文献本研究 文献 文献 本研究.环向波数的影响表 研究了环向波数对微圆柱壳无量纲模态频率的影响 可以得出:在低环向波数下型微圆柱壳的模态频率大于 型微圆柱壳的模态频率而环向波数较大时则相反 表明孔隙的分布 形 式 对 环 向 振 动 的 影 响 较 大 无 论 是型 还 是 型 无 弹 性 支 撑 和 弹性支撑下圆柱壳的基频均在()()处而 弹性支撑下圆柱壳的基频出现在()()处 究其原因 弹性支撑只影响微圆柱壳的径向振动而 弹性支撑不但影响微圆柱壳的径向振动还影响环向振动 不同孔隙分布下 和 弹性支撑均可提高模态频率且在低环向波数下效果明显 这是因为弹性支撑的作用相当于对圆柱壳施加了约束提高 了 结 构 刚 度 相 较 于 弹 性 支 撑 弹性支撑可较大幅度提高模态频率 因此在不改变结构尺寸时选择 弹性支撑能调节微圆柱壳模态频率以避免结构发生共振表 环向波数对无量纲模态频率的影响.()()()()()()()()()()()().外部载荷的影响表 表 分别描述了热、力、电 种载荷单独变化下结构模态频率的变化情况 表 研究了温度对圆柱壳无量纲模态频率的影响 结果表明:在无弹性支撑和 弹性支撑下因为温度降低了圆柱壳的刚度所以增大温度梯度圆柱壳的模态频率减小 在 弹性支撑下温度对模态频率基本无影响 这是由于 弹性支撑较大程度的提高了结构刚度增大温度梯度不易改变结构刚度 相比无弹性支撑 弹性支撑下温度对模态频率影响较小 尤其是 弹性支撑下第 期刘文光等:弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报模态频率随温度基本无变化 因此弹性支撑会降低温度对模态频率的影响 在无弹性支撑和 弹性支撑下孔隙体积分数越大微圆柱壳对温度越敏感 说明低孔隙体积分数可相对较好的抵抗高温度梯度 比较发现型孔隙分布对温度梯度更敏感 例如当 .且温度梯度从 增大到 时孔隙分布为 型的模态频率分别减小了.和.孔隙分布为 型的微圆柱壳模态频率分别减小了.和 究其原因两种孔隙下圆柱壳对温度的敏感性不同主要体现在结构的有效热释电常数上 因此高温环境下工作时可考虑 型孔隙分布表 温度梯度对无量纲模态频率的影响.().().().().().().().().().().表 描述了轴向力对圆柱壳无量纲模态频率的影响情况 当圆柱壳轴向受拉时模态频率随轴向力的增大而增大当轴向受压时模态频率随轴向力的增大而减小 这是因为轴向拉力增大了微圆柱壳的刚度轴向压力减小了圆柱壳的刚度 弹性支撑下圆柱壳对轴向力敏感性最弱 弹性支撑次之无弹性支撑时敏感性最强 考虑弹性支撑会降低轴向力对模态频率的影响表 轴向力对无量纲模态频率的影响.().().().().().().().().().().据表 可知孔隙体积分数越大轴向力对模态频率影响越大 且无论在轴向拉力或轴向压力下大轴向载荷时孔隙体积分数对模态频率的影响较大 因此选择高孔隙体积分数及大轴向载荷课调节模态频率 比较发 现 型 孔 隙 分 布 比型孔隙分布对轴向力更敏感 例如当孔隙体积分数.时当无量纲轴向力从 增加到 种弹性支撑下孔隙分布为 型的圆柱壳模态频率分别增加了.、.和 孔隙分布为 型的圆柱壳模态频 应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报率分别增加了 、.和.这主要是因为两种孔隙下有效弹性常数和有效质量密度的贡献比不同而导致敏感性不同 因此若通过轴向力来调节微圆柱壳的模态频率可选 型孔隙分布表 分析了电压对圆柱壳无量纲模态频率的影响 在无弹性支撑和 弹性支撑下施加正电压时模态频率减小施加负电压时模态频率增大这是因为正电压降低了微圆柱壳的刚度而负电压增大了微圆柱壳的刚度 因此在这两种弹性支撑下可通过改变外加电压的方向和幅值来调节模态频率 而在 弹性支撑下电压对模态频率基本无影响 此时 弹性支撑起主导作用通过改变外加电压来调节模态频率的效果不明显与热和轴向力情况下相同考虑弹性支撑可降低电压对模态频率的影响 在无弹性支撑和 弹性支撑下减小孔隙体积分数会增大电压对模态频率的影响 且在高外加正电压下孔隙体积分数对模态频率的影响尤其显著 因此可通过选择低孔隙体积分数及高外加正电压参数来调节模态频率在无弹性支撑和 弹性支撑下改变电压时型孔隙下模态频率的变化较大 例如当.时当电压从 增加到 孔隙分布为型 的 微 圆 柱 壳 模 态 频 率 分 别 减 少 了 和.孔隙分布为 型的微圆柱壳模态频率分别减少了.和.这是由于两种孔隙对有效弹性常数的影响不同而导致的 因此可选择 型孔隙分布来调节模态频率表 电压对无量纲模态频率的影响.().().().().().().().().().().以上分析表明两种孔隙分布下微圆柱壳的模态频率随温度、轴向力和电压的变化趋势相同只是数值上的差异可根据实际情况选择何种孔隙分布 为简化分析在以下讨论中只考虑 型孔隙分布.不同弹性支撑和材料体积分数的影响图 分别为在不同弹性支撑和材料体积分数指数下无量纲模态频率随温度、轴向力和电压的变化曲线结果表明无弹性支撑下材料体积分数指数越大微圆柱壳的模态频率越大且随温度、轴向力和电压的变化率越小 这是因为材料体积分数指数越大 的占比越大圆柱壳的刚度增大 说明增大 的占比圆柱壳可承受高温度、大轴向载荷以及高电压 在 弹性支撑下圆柱壳的模态频率随轴向力变化明显 而改变温度梯度或外加电压模态频率基本不变 此时可通过改变材料体积分数指数来调节微圆柱壳的模态频率并可以达到良好的效果.孔隙体积分数的影响图 为无量纲模态频率随孔隙体积分数的变化曲线 结果表明当孔隙体积分数小于.时模态频率变化不大当孔隙体积分数大于.时增大孔隙体积分数模态频率的变化趋势明显不同 无论在无弹性支撑下还是在 弹性支撑下当材料体积分数指数较小时模态频率随孔隙体积分数的增大而逐渐减小当材料体积分数指数较大时模态频率随孔隙体积分数的增大而增大 究其原因这可以从孔隙体积分数改变有效弹性模量和有效密度第 期刘文光等:弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报的角度来说明 当材料体积分数指数较小时微圆柱壳的刚度较小 此时增大孔隙体积分数造成对有效弹性模量的削减大于有效密度当材料体积分数指数较大时增大孔隙体积分数显著降低了微圆柱壳的有效密度图 无量纲模态频率随温度梯度的变化曲线.图 无量纲模态频率随轴向力的变化曲线.图 无量纲模态频率随电压的变化曲线.图 无量纲模态频率随孔隙体积分数的变化曲线.壳体厚度的影响图 和图 分别展示了基于经典连续体理论和修正的偶应力理论下微圆柱壳无量纲模态频率随厚度参数的变化情况图 无量纲模态频率随壳体厚度的变化曲线().()图 无量纲模态频率随壳体厚度的变化曲线().()结果表明基于修正的偶应力理论的模态频率 应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报大于基于经典连续体理论的模态频率 说明考虑材料特征长度会使得微圆柱壳的刚度变大 随着壳体厚度增加有无弹性支撑之间的模态频率逐渐减小在./.时微圆柱壳的模态频率差异明显 说明 弹性支撑对薄壳的影响更大究其原因薄壳较“软”弹性支撑对其作用效果显著 对于不同长度的微圆柱壳对比其在有无弹性支撑下的模态频率 在 /之间 发现 弹性支撑提高短圆柱壳的模态频率更加显著 这主要是因为 弹性支撑中的剪切层对短圆柱壳的作用效果更明显 结 论基于修正的偶应力理论和三阶剪切变形壳体理论推导了弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的运动方程分析了各种参数对微圆柱壳模态频率的影响 主要结论如下)弹性支撑仅影响微圆柱壳的径向振动而 弹性支撑影响径向和环向振动 与 弹性支撑相比 弹性支撑可较大幅度提高微圆柱壳的模态频率)改变弹性支撑的刚度系数、轴向力、外加电压、孔隙分布类型、孔隙体积分数、材料体积分数指数和结构尺寸等均可起到调节微圆柱壳模态频率的作用 温度、轴向压力和外加正电压均降低微圆柱壳的刚度而轴向拉力和外加负电压增大微圆柱壳的刚度)增大孔隙体积分数温度载荷或外加轴向力对模态频率的影响增大外加电压对模态频率的影响减小 在不同的材料体积分数指数下增大孔隙体积分数模态频率的变化趋势不同)弹性支撑会降低温度、轴向力和电压对模态频率的影响对于 弹性支撑而言尤其明显 弹性支撑对短圆柱壳或薄圆柱壳的模态频率影响更加显著参考文献:刘涛汪超刘庆运等.基于等几何方法的压电功能梯度板动力学及主动振动控制分析.工程力学():.():().刘文光舒斌郭隆清等.热环境对 壳模态频率的影响.振动与冲击():.():().刘超刘文光.热流温度场下功能梯度板的热问题研究.工程设计学报():.():().():.:.周凤玺蒲育.功能梯度压电材料梁的热机电耦合振动及屈曲特性分析.机械工程学报():.():().().:.:.():.:./.():第 期刘文光等:弹性支撑功能梯度压电多孔微圆柱壳的自由振动分析 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报.():.:.():./:.:.():.黄小林董雷钟德月等.弹性地基上含孔隙功能梯度材料板的自由振动和动力响应.应用力学学报():.():().:.黄小林魏耿忠刘思奇等.黏弹性地基上石墨烯增强功能梯度矩形板的自由振动和动力响应.应用力学学报():.():().:.():.:./.:.:.():.():.():.():.(编辑 张璐)