弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究.pdf

第41卷第1期2024 年2 月文章编号：10 0 0-49 39(2 0 2 4)0 1-0 2 16-0 9应用力学学报Chinese Journal of Applied MechanicsVol.41 No.1Feb.2024弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究吕志鹏，刘文光，刘超（南昌航空大学航空制造工程学院,330 0 6 3南昌）摘要：在建立弹性支撑功能梯度薄壁微圆柱壳模型的基础上，基于修正的偶应力理论和一阶剪切变形理论，推导了微圆柱壳的模态频率方程，讨论了弹性支撑、尺寸效应、温度梯度、材料组分指数、孔隙以及几何尺寸等参数对微圆柱壳模态频率的影响。结果表明：微尺度下，弹性刚度系数在0 10N/m范围内对微圆柱壳的模态频率基本无影响，剪切刚度系数在0 510 4N/m范围内对模态频率的影响较大，且增大剪切刚度系数有益于提高微圆柱壳的模态频率；由修正的偶应力理论得到的模态频率大于由经典连续体理论得到的模态频率；在弹性支撑和尺寸效应有无考虑的4种组合下,模态频率随温度梯度和微圆柱壳长度的增大而减小，随陶瓷体积分数指数的增大而增大，随孔隙体积分数和微圆柱壳厚度的变化规律不同；温度梯度对考虑尺寸效应或弹性基础的微圆柱壳模态频率影响较大，而孔隙调节具弹性支撑微圆柱壳的模态频率尤其显著。关键词：热环境；弹性支撑；功能梯度材料；微圆柱壳；模态频率中图分类号：V215.4Study on modal frequency of a functionally graded cylindrical(School of Aeronautical Manufacturing Engineering,Nanchang Hangkong University,330063 Nanchang,China)Abstract:Based on a functionally graded thin-walled cylindrical microshell model with elastic support,themodal frequency equation was derived by using the modified couple stress theory and the first-order sheardeformation theory.The impacts of the elastic support,size effect,temperature gradient,material componentindex,pore and geometry dimensions on the modal frequencies of the cylindrical microshell were studied.Results indicate that the impacts of elastic stiffness coefficient on the modal frequencies can be neglectedin the range of O to 10 N/m,but the shear stiffness coefficient has a great influence on the modalfrequencies in the range of 0 to 5 10*N/m.Moreover,increasing the shear stiffness coefficient isbeneficial to increasing the modal frequencies.The modal frequencies obtained by modified couple stresstheory are larger than those obtained by classical continuum theory.With or without elastic support andsize effect,the modal frequencies decrease with the increase of the temperature gradient and the length of收稿日期：2 0 2 1-10-10基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.51965042）；江西省自然科学基金资助项目（No.2018BAB206023）通信作者：刘文光,教授。E-mail:引用格式：吕志鹏，刘文光，刘超.弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究J.应用力学学报，2 0 2 4,41（1）：2 16-2 2 4.LU Zhipeng,LIU Wenguang,LIU Chao.Study on modal frequency of a functionally graded cylindrical microshell with an elastic supportJ.Chinese journal of applied mechanics,2024,41(1):216-224.文献标志码：Amicroshell with an elastic supportLU Zhipeng,LIU Wenguang,LIU Chao修回日期2 0 2 2-0 6-0 3D0I:10.11776/j.issn.1000-4939.2024.01.023第1期the cylindrical microshell,and increase with the increase of the ceramic volume fraction index.The changelaws of the modal frequencies are different with the variation of the pore volume fraction and thickness ofthe cylindrical microshell.The temperature gradient has a great influence on the modal frequencies of thecylindrical microshell considering size effect or elastic foundation.The influence of pore on the modalfrequencies with elastic foundation is especially obvious.Key words:thermal environment;elastic support;functionally graded material;micro cylindrical shell;modal frequency功能梯度材料（functionally graded materials，FGMs)因有着传统复合材料不可比拟的优异性能，广泛应用于航空航天、军工和医学等领域。众多研究者对功能梯度结构的振动特性、热应力和屈曲等问题开展了大量研究1-4。但是，当功能梯度结构尺寸小至微米级时，其力学性能已不能使用传统的连续体理论表征。对此,研究者陆续提出了应变梯度理论、偶应力理论、非局部理论等理论研究微纳米结构。其中,文献5 提出的修正的偶应力理论得到了广泛应用。基于修正的偶应力理论,文献6 研究了微圆柱壳的动力稳定响应，文献7-8 研究了Timoshenko和Euler-Bernoulli微纳米梁的尺寸效应,文献9 分析了热力耦合环境下微纳米层合板的热稳定性。文献10 研究了热环境下Euler-Ber-noulli 微纳米梁的自由振动问题,文献11 研究了含多孔功能梯度微弹性管的非线性弯曲问题,文献12研究了黏弹性系数和材料特征长度对有无流体输送的微圆柱壳模态频率影响。工程实际中,有很多结构服役时常与弹性介质接触,并受其动态冲击的作用，如潜艇机身、火箭外壳和海底沉管隧道等。文献13-14 应用Winkler-Pasternak模型描述弹性介质对结构的作用。基于该模型,文献15 研究了与弹性介质接触圆柱壳的自由振动,文献16 推导了弹性支撑功能梯度Timosh-enko梁振动响应的精确解,文献17 研究了弹性支撑功能梯度板的动力稳定性。针对弹性支撑微米结构的振动,同样引起了研究者的关注。文献18 研究了弹性支撑夹芯微复合梁多场耦合致自由振动问题,文献19 分析了弹性支撑微米梁系统的多频激励问题。虽然研究者应用Winkler-Pasternak模型和修正的偶应力理论对功能梯度结构的振动问题开展了大量研究，但鲜有研究者探究弹性支撑功能梯度微圆柱壳的振动特性。本研究以Winkler-Pasternak型弹性支撑功能梯度薄壁微圆柱壳为对象，基于修正的吕志鹏，等：弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究力学设计提供参考。1功能梯度微圆柱壳模型如图1所示，受弹性支撑功能梯度薄壁微圆柱壳的长、壁厚和中面半径分别为L、h 和R。弹性支撑包含环向均匀分布的弹簧层和剪切层。在微圆柱壳中性层建立坐标系，x、和z分别表示轴向、环向和径向，u、u 和w分别表示相应的位移。假设微圆柱壳由多孔材料制成，且壳内孔隙沿厚度方向均匀分布。壳内表面为ZrO2,壳外表面为Ti-6Al-4V。微圆柱壳材料的物理性能沿厚度方向连续变化,其表达式为2 0(2+h)P(z,T)=(Pm-P。h式中:P(z,T)代表微圆柱壳的有效材料属性;P.和P.分别是金属和陶瓷的材料属性;z是微圆柱壳中性层距内表面的距离；N表示微圆柱壳的陶瓷体积分数指数；eo是孔隙体积分数。弹簧层剪切层孔隙x,u?R图1弹性支撑功能梯度薄壁微圆柱壳模型Fig.1 Model of a functionally graded thin-walledcylindrical microshell with an elastic support假定微圆柱壳在非线性温度场下工作，温度沿圆柱壳厚度方向的表达式为2 1投稿网站：http：/c j a m.x j t u.e d u.c n 微信公众号：应用力学学报217偶应力理论和一阶剪切变形理论，建立微圆柱壳的模态频率方程，探究温度梯度、孔隙以及几何尺寸等参数对模态频率的影响，为功能梯度微圆柱壳的动+P2(1)Leo+P(6)218T=T。-Tcm式中：T是微圆柱壳内沿厚度方向任意点的温度值；Tem=T。-T m,T.和Tm分别是微圆柱壳内、外表面温参数PoE/PaZr02Ti-6Al-4VUZrO2Ti-6Al-4Vp/(kg m=3)Zr02Ti-6Al-4V/(1:K-I)ZrO2Ti-6Al-4VK/(W mk-1)ZrO2Ti-6Al-4V2功能梯度微圆柱壳的运动方程2.1微圆柱壳的能量方程由一阶剪切变形理论可知微圆柱壳的位移分量表达式为ux(x,0,z,t)=u(x,0,t)+zb,(x,0,t)u,(x,0,z,t)=v(x,0,t)+zb。(x,0,t)(u,(x,0,z,t)=w(x,0,t)式中：uu,和u.分别表示微圆柱壳内任一点的各向位移;u、和w为中面上点的各向位移;,和。分别表示微圆柱壳中面法线沿x和方向的转角。热环境下,微圆柱壳的应力-应变关系为2 3G=C(8-T)式中:是应力向量;C是缩减刚度矩阵;8 是应变向量;是热膨胀系数向量;T=T-Tm。各向量和矩阵的具体表达式为应用力学学报5Kmi=0(iN+1)kc5(Km-K.)i（-1(iN+1)k表 1ZrO,和 Ti-6Al-4V的温敏系数2 Tab.1 Temperature-dependent coefficients of ZrO,and Ti-6Al-4v2材料P-1,P30000000000投稿网站：http:/第41卷K.22+h)iN+12h(2)132.20 109122.70 1090.333 00.288 83 6574.42013.300 10-67.430 0 10-6 1.786.10(4)式中：和分别为微圆柱壳和方向的正应力;x为x0面内的剪应力;。和x为z方向的剪应力;8 v8和8 x08:0v8分别为相应方向上的正应变和剪应变;和分别表示x和方向的热膨胀系数。矩阵C中各缩减刚度系数定义为C11=Ca2=1(2,T)E(z,T)C12=u(z,T)Cl1(5)C4=Cs=Co=2(1+(2,T)考虑尺寸效应的作用，微圆柱壳的偶应力和曲率的关系为5微信公众号：应用力学学报度；Kk。和km分别是陶瓷和金属的热传导系数。考虑温度对材料的影响,功能梯度材料的热物理属性P的表达式为2 2 P=Po(P_,T-I+1+P,T+P,T+P,7)(3)材料属性P表示弹性模量E、密度p、泊松比u、热膨胀系数和热传导系数k,P-1、P。、PI、P,和 Ps是材料的温敏系数,其值如表1所示。P-3.805 10-4-4.605 10-401.108 10-400-1.421 10-37.483 10-4 00oxxC/2000C/2C2000C=00C6600000C400000C ss18x808x0820T=(x0001E(z,T)P2-6.127 10-8000009.549 10 7-3.621 10-700(7)第1期式中：l为微圆柱壳的材料特征长度;(z,T)为材料的剪切模量;m和X分别表示偶应力向量和曲率向量，具体表达式为rm=(mmmoomzmxomom(9)l=(x Xo X Xx Xa Xa)式中：mvmoovmzvmxovm和m分别表示微圆柱壳各方向上的偶应力分量;XaWooXaVxoXoVx分别表示微圆柱壳各方向上的曲率分量。薄壁微圆柱壳的应变能为U=Uc+UMc式中：Uc和UMc分别表示基于经典连续体理论和考虑尺度效应的应变能，表达式分别为Uc=2TodVUMc=TmdV2X薄壁微圆柱壳的动能为K2p(z,T)(i+i,+ig)dv外力做的功为W=W,+WT式中：W,和W表示弹性力和热应力做功。假设k.和k.分别为弹性支撑的弹性刚度系数和剪切刚度系数，弹性力做功为2 4W,=-2mw+kg2W十2R式中：下标中的逗号表示偏导。假设N是微圆柱壳内沿方向温度内力，热应力做功为2 5+w)RdxdeTT2（V2,xS2.2微圆柱壳的运动方程定义微圆柱壳的能量方程为II=K-U+W将能量方程代人Hamilton方程2 6 可推出微圆柱壳的运动方程，即1.i+1.i.+x=02R投稿网站：http:/吕志鹏，等：弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究m=21(z,T)X(8)(10)(11)(12)(13)Rdxde(14)(15)(16)Y20.002R2219Yoo+YYoYI,i+I,小。+x,x2R22RYNoo.。+Q o-N.o.=0 xz,xXN2I,i+kaw-k,vw+Ya-Yao+Yoe22RC20.-NooQ二RYo.o+Yo-Ya.。+T.I,i+2RM.o.0-M=0(20)2R2R2YM.o.0Y-Y-Ta2RRTo_Mx0.x=02R式中：N和Ne分别是微圆柱壳沿和方向的内力；Nx是xo面的内力；Mx、M e 和Mx分别是各向弯矩；Q和Q分别是沿z方向的剪力；Yx、Ye、Y、Yx、Y和Y分别是各向偶应力;Te、T 和T.分别是各向偶应力矩;l、l,和I,为广义惯性常数。各参数的具体表达式为(Nx,Noo,N.o)=(Mu,Moo,M.o)=x(Q,Q0)-zbk,(gx,)dz x(Yu,Yo,Ya,Yro,Ya,Ya)ch-zb26(T.e,T,T.)=h-zb(I,12,1,)=p(z,T)(1,z,2)dzZ6W.00W+R?X3式中,k,为剪切修正系数,取 k,=5/627。2.3微圆柱壳的模态频率方程假设微圆柱壳两端简支，针对任意单一阶振动模态，适用于两端简支边界条件的微圆柱壳振型函(17)数近似为微信公众号：应用力学学报Y20,x(18)R2RYo.NW.xx0 xz,x2h-zb(gx00o.0o)dzch-zb-zbh-z6(momem.e)dz(19)(21)(22)220式中：m和n分别表示微圆柱壳的轴向半波数和环向波数；Hmm H 2 m、H 3mm、H 4mm和Hsmn是微圆柱壳的振型系数；为微圆柱壳的模态频率。将振型函数代人到运动方程，推出微圆柱壳的模态频率方程(K+TmKr-wM)H=0式中：K是微圆柱壳的刚度矩阵;K是关于Tcm的系数矩阵;M是微圆柱壳的质量矩阵;H是振型系数向量。Tab.3Comparison of dimensionless first three modal frequencies of cylindrical microshells with different thicknessesh/Rm0.110.210.313分析与讨论算例分析中，取微圆柱壳的几何尺寸L=18 m、h=0.2 4 m、R=6 m;孔隙体积分数eo=0.2;陶瓷体积分数指数N=1、材料特征长度l=14m;温度梯度T.m=400K;弹性刚度系数k。=110*N/m，剪切刚度系数kg=110N/m。图2 7 分别讨论了弹性支撑、温度梯度、材料组分、孔隙、壳厚与长度对模态频率的影响。图2 结果表明：微尺度下，弹性刚度系数k,在010N/m范围内对模态频率的影响不明显，而剪应用力学学报iolmTxWmn二H1mmecosLcosnoiatmTxH2mn二2mnesinLWmnHameeiotsinmTxcosnLHameiwtxmnecosLmTX.LomnHsit二5mnesinL表3不同厚度的微圆柱壳前三阶无量纲模态频率比较n文献2 8 (1=0)10.93320.77630.71311.04820.97131.05211.18121.16231.330投稿网站：http:/第41卷令系数矩阵的行列式等于零，可求解微圆柱壳的模态频率。将弹性支撑功能梯度微圆柱壳模型简化为不考虑孔隙和弹性基础的单一材料圆柱壳,然sinng后通过方程（2 4）得到的退化结果与现有文献的结(23)果作对比，从而可以间接地验证本研究理论模型的正确性。定义无量纲模态频率mTxcosnsinnga=Rp/E数值计算时，p和E分别取微圆柱壳外表面材料的密度和弹性模量。为进行模型有效性验证，假设微圆柱壳由单一材料制成，其几何尺寸和材料参数如表2 所示。表3结果表明，本研究模型得到的结果与文献2 8 的计算结果基本吻合,验证了本研究模型是有效的。表2 微圆柱壳几何尺寸和材料参数2 8(24)Tab.2 Geometry dimensions and material parameters ofE/TPau p/(kgm-3)R/nm1.060.3本研究(1=0)文献2 8 (l=h)0.9331.1260.7751.068 80.7061.2071.0471.5370.9621.5901.0261.9281.1781.8781.1471.9741.2892.415切刚度系数kg在0 510 4N/m范围内对模态频率影响较大，且模态频率随着剪切刚度系数k.的增大而逐渐增大，但速率越来越小。分析认为，这主要是由于弹簧层主要影响微圆柱的径向振动,而剪切层主要影响微圆柱壳的轴向和环向振动。由于弹簧层和剪切层作用方向和程度的不同导致出现这种现象。因为薄壁结构频带较窄，设计人员可在不改变微圆柱壳尺寸的情况下，适当调节剪切刚度系数ks可使结构避免发生共振。图3结果表明，温度梯度越大，模态频率的下降速率越快。尤其是当Tem=1600K时，模态频率均较室温时下降了50%左右。究其原因，温度梯度较微信公众号：应用力学学报(25)a cylindrical microshl28L/nm23002kgeo2000本研究(l=h)1.1271.0691.2011.5401.5911.9151.8811.9732.400第1期大时,FGMs的刚度急剧减小，导致微圆柱壳模态频率显著降低,较低的振动激励便可引发微圆柱壳的共振。此时系统安全性降低,在工程应用中需格外重视。考虑尺寸效应或弹性基础的微圆柱壳对温度更为敏感，模态频率随温度变化显著，这种现象在高振动波数和低振动波数情况下相同。此外，可以发现基于修正的偶应力理论所得模态频率大于基于经典连续体理论所得模态频率。1.5斤1.41.31.21.11.00.90.8012345678910k./(10*Nml)(a)m=n=1 2.952.902.852.80中2.752.7042.652.602.55起012345678910k./(10Nml)(b)m=n=2图2弹性支撑对无量纲模态频率的影响Fig.2 Influence of pasternak elastic foundation ondimensionless modal frequency由图4可知，陶瓷体积分数指数从N=0增加到N=30时，微圆柱壳的模态频率升高了约2 0%，且逐渐趋于稳定。究其原因,N越靠近O，金属的占比越大，微圆柱壳的刚度越小；而N越靠近30，陶瓷的占比越大,微圆柱壳的刚度越大。因此，圆柱壳的模态频率随 N的增大而逐渐增大。当 N为无穷大时，陶瓷占比最大，模态频率达到最大值。随着N逐渐增大,模态频率逐渐接近这一最大值，导致曲线变得平滑，即模态频率趋于稳定。因此,可通过合理改变微圆柱壳中陶瓷的占比来调节其模态频率值。吕志鹏，等：弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究4006008001000120014001600T.m/K(a)m=n=13.5e-1-14m,k=110*N/m-/-14 um,k=03.0-8-/-0,k=1X10N/m二日e-k,-0k,=1X10*N/mBk,=210N/mk=3X10*N/m-e-k.=0-k-1X10*N/m-B-k=2X10N/m-k,=3X10*N/m2211.4e-/-14um,k,=110*N/m1-14 um,k,-01.2一B-1-0,k-1X10*N/m-1-0,k-01.00.80.60.40.202002.52.01.5+k=410N/m1.0+k,=510N/m0.502004006008001000120014001600(b)m=n=2图3温度梯度对无量纲模态频率的影响Fig.3Influence of temperature gradient ondimensionless modal frequency1.21.00.90.80.7+k=4x10N/m0.6+k,=510*N/m0.50.40.303.022.01.51.00.50图4材料组分指数对无量纲模态频率的影响Fig.4 Influence of material composition index ondimensionless modal frequency投稿网站：http:/微信公众号：应用力学学报-0,k-0T.m/Ke-/-14m,k=1X10N/m-/=14 um,k-0-8-/-0,k,=110*N/m-1-0,k,-0510(a)m=n=1/-=14 m,k,=1X10*N/m+1=14um,k,0-8-/-0,k-1X10*N/m-1-0,k-0510(b)m=n=215N1520N20252530330222由图5可知：当m=n=1时，模态频率随孔隙体积分数的增大均逐渐增大；当m=n=2时,基于修正的偶应力理论和经典连续体理论的模态频率变化规律表现出不一致性。基于修正的偶应力理论所得模态频率随孔隙体积分数的增大而先减小后增大，但幅度较小。究其原因，孔隙率影响微圆柱壳的材料属性。在模态频率减小阶段，孔隙在降低微圆柱壳的模态频率上起主导作用，而在模态频率增大阶段，因孔隙较多，在微圆柱壳内部形成类似桁架结构；基于经典连续体理论所得模态频率随孔隙体积分数的增大而逐渐增大。在高振动波数和低振动波数情况下,孔隙对具弹性基础微圆柱壳模态频率的1.6-/-14m,k,=110*N/m-14 m,k,-01.4F-B-/-0,k=1X10N/m-I-0,k-01.21.00.80.60.40.20图7 结果表明：增大微圆柱壳长度会减小模态频率;当L/R6时,剪切刚度系数kg、材料特征长度I以及微圆柱壳长度L对模态频率的影响均较大;随长度的增大,=n=1 和m=n=2时微圆柱壳的模态频率的下降速度均较快。微圆柱壳长度的1.31.21.11.00.90.80.7e-=14m,k,=1X10*N/m0.6-1-14um,k=00.5-B-/-0,k,=1X10*N/m-I-0,k,-00.40.32025 30354045505560R/h(a)m=n=1 Fig.6 Influence of thickness on dimensionless modal frequency投稿网站：http：/c j a m.x j t u.e d u.c n 微信公众号：应用力学学报应用力学学报影响更为明显，无弹性基础微圆柱壳对孔隙敏感性较弱。由图6 可知：当m=n=1时,有弹性支撑微圆柱壳的模态频率均随厚度的减小逐渐增大；无弹性支撑微圆柱壳的模态频率随厚度的减小而逐渐减小；当m=n=2时,有弹性支撑微圆柱壳的模态频率随厚度的减小而逐渐增大;无弹性支撑时,基于修正的偶应力理论获得的模态频率随厚度的减小而逐渐增大，而基于经典连续体理论所得的模态频率随厚度的减小而逐渐减小。相较于微圆柱壳厚度h,改变剪切刚度系数k.和材料特征长度l,可明显调节微圆柱壳的模态频率。3.02.542.7022.02.69901.5中中1.00.50.10.2 0.30.40.5 0.60.70.8e(a)m=n=1图5孔隙体积分数对无量纲模态频率的影响Fig.5 Influence of pore volume fraction on dimensionless modal frequency0.866150.86590200.370 380.37024520图6 厚度对无量纲模态频率的影响第41卷2.5642.55000.2-e-/-14 um,k,=1X10*N/m-/-14 um,k0-8-/-0,k,=1X10*N/m1-0,k,-000.10.20.30.40.50.60.70.8eo(b)m=n=2轻微改变可较大幅度的影响其模态频率。工程中应合理选择微圆柱壳的长度，以提高圆柱壳的共振频率；当L/R6时,微圆柱壳模态频率呈现收敛性，此时可通过改变剪切刚度系数k.来调节微圆柱壳模态频率。3.02.52.55462.0602.553020日1.5中0.4561.00.44620600.5一0202530354045505560R/h(b)m=n=20.860中-e-/-14 m,k,=1 X10*N/m-/=14 um,k,=0-8-/-0,k=1X10*N/m-I-0,k,=060R日1中第1期1.851.61.41.21.00.80.60.40.202345678910L/R(a)m=n=1Fig.7 Influence of length on dimensionless modal frequency4结论以弹性支撑功能梯度薄壁微圆柱壳为对象，基于修正的偶应力理论和一阶剪切变形理论,研究了非线性温度场下受弹性支撑功能梯度薄壁微圆柱壳模态频率的变化规律。主要结论如下。1)微尺度下,弹性刚度系数在0 10 N/m范围内对微圆柱壳的模态频率基本无影响，而剪切刚度系数在0 510*N/m范围内对模态频率的影响较大。因此，工程设计中，可通过改变剪切刚度系数来调节微圆柱壳模态频率，以避免结构发生低频共振。2）微圆柱壳的模态频率随温度梯度的增大而不断减小,随陶瓷体积分数的增大而增大；考虑尺寸效应或弹性支撑时，温度梯度对微圆柱壳模态频率的影响十分明显；孔隙调节具弹性基础微圆柱壳模态频率尤其显著。3）与微圆柱壳的厚度相比,剪切刚度系数和材料特征长度对模态频率的影响更大。微圆柱壳长度较小时，微小长度的改变可较大幅度的改变微圆柱壳的模态频率；微圆柱壳长度较大时，模态频率呈现收敛性。参考文献：1 1NGUYEN T K,NGUYEN B D.A new higher-order shear deforma-tion theory for static,buckling and free vibration analysis of func-tionally graded sandwich beams J.Composite structures,2016,156(6):238-252.2 郭琰，蒋亚南，黄斌.基于准三维理论的功能梯度层合板应力分析J.应用力学学报,2 0 2 0,37（3）：117 2-117 7.GUO Yan,JIANG Yanan,HUANG Bin.Stress analysis of composite吕志鹏，等：弹性支撑功能梯度微圆柱壳模态频率的研究-14 m,k,=110*N/m-/-14 m,k,=0-B-/-0,k=110*N/m-1-0,k,-0十投稿网站：http:/2234.0-e-/-=14 um,k=110*N/m3.54-/-14 m,k,-0B-/-0,k=110N/m3.0-1-0,k,-02.52.01.51.00.5023456789L/R(b)m=n=2图7 长度对无量纲模态频率的影响laminates with functionally graded layers based on quasi-three di-mensional theory J.Chinese journal of applied mechanics,2020,37(3):1172-1177(in Chinese).3刘文光，丰霞瑶，姚婉.功能梯度圆柱壳的热应力与热传导分析J.航空材料学报,2 0 19,39（6）：8 1-8 9,LIU Wenguang,FENG Xiayao,YAO Wan.Analysis on thermalstress and heat conduction of functionally graded cylindrical shellJ.Journal of aeronautical materials,2019,39(6):81-89(inChinese).4WANG Y Q,YE C,ZU J W.Identifying the temperature effect onthe vibrations of functionally graded cylindrical shells with porosi-tiesJ.Applied mathematics and mechanics,2018,39(11):1587-1604.5YANG F,CHONG A C M,LAM D C C,et al.Couple 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