2023年初中数学培优竞赛讲座第讲线段.doc

第二十讲 线段 平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，重要是研究平面图形的形状、大小及位置关系 构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简朴、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础 几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法例题【例1】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个 ( “希望杯”邀请赛)思绪点拨 画图探求，从简朴情形考虑，从特殊情形考虑 注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千数年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著几何原本 当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一 求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：(1) 线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段? (2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点? (3)n条直线最多能把平面提成几个区域?【例2】 如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( ) (“五羊杯”邀请赛) A1 B2 C3 D4 思绪点拨 运用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表达 【例3】 如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度思绪点拨 引人未知数，通过列方程求解【例4】 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的一半就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米? (“华杯赛”试题) 思绪点拨 条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考【例5】 (1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小； (2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小； (3)如图c，有一正方体的盒子ABCDA1B1ClDl，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C处有一只苍蝇蜘蛛应沿着什么途径爬行，才干在最短的时间内捕获到苍蝇?(假设苍蝇在Cl处不动)思绪点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直注： 恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法 数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决 “谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地问A、B市相距多少千米? 思绪点拨 画出线段图进行分析如图131所示，设小镇为D点，傍晚在正点休息GE=2EB，GE=BCAD=AC，DC=ACDC+CE=（BC+AC）=ABDE=AB，又DE=400km； AB=600 km 注： 线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用同学们想一想，“计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗?假如把司机的话改成“再走C市到这里路程的就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完毕解答【例7】 如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才干使从A到B的距离最短? 思绪点拨 虽然A、B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸 如图13-8，关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办使P与D重合起来，运用平行四边形的特性可以实现这一目的。如图13-9，建立在PD处符合题意注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简朴，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题目前，往往运用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法学力训练1如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD= 2从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，假如任意两站间的票价都不相同，那么有 种不同的票价 (黑龙江省中考题)3如图，ABa，BC，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为 (“数学新蕾”邀请赛试题)4在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( ) A 1条 B4条 C 6条 D1条或4条或6条5如图，若C是线段AB的中点，D是线段AC上的任一点(端点除外)，则( ) AADDBACBC D它们的大小关系不能拟定 (广州节中考题)6线段AB1996厘米，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP1050厘米，则线段PQ( )厘米 A254 B150 C127 D8717如图，线段AB=2BC，DA= AB，M是AD中点，N是AC中点，试比较MN和AB十NB的大小8已知A、B、C三点在同一直线上，若线段AD60，其中点为M；线段BC20，其中点为N，求MN的长9线段AB上有P、Q两点，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ= 10将长为20cm的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是 11如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为 （“希望杯”邀请赛试题)12五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候已知：a握了4次，b握了1次，e握了3次，d握了2次到目前为止，e握了( )次 A1 B2 C 3 D4 (重庆市竞赛题)13平面内有n条直线(n2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是( ) An(n一1) Bn2一n+1 C D14如图，小圆圈表达网络的结点，结点之间的连线表达它们之间有网线相联，连线标注的数字表达该网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为( ) (全国高考数学试题) A19 B20 C 24 D26 15某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，BN有15人，C区有10人三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在( ) (江苏省竞赛题) AA区 BB区 CC区 DA、B两区之间 16(1)一条直线可以把平面提成两个部分(或区域)，如图，两条直线可以把平面提成几个部分?三条直线可以把平面提成几个部分?试画图说明(2)四条直线最多可以把平面提成几个部分?试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系(3)平面上有n条直线。每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处在这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与n之间的关系 (山东省聊城市中考题) 17如图，设A、B、C、D为4个居民社区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才干使4个居民社区到购物中心的距离之和最小?说明理由18一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线如何走，桥应架在什么地方，才干使从A到B所走的路线最短? 19在线段AB上，先在A点标注0，在B点标注2023，这称为第一次操作，然后在AB的中点C处标注，称为第二次操作；又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注相应线段两端所标注的数字和的一半，即与，称为第三次操作，照此下去，那么通过11次操作之后，在线段AB上所有标注的数字的和是多少? (第13届“希望杯”邀请赛试题)AB参考答案