温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案.doc

2011年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2011年4月10日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ）A B C3 D2设集合，则等于（ ） A B C D3已知，则与的关系是（ ）A或 B C D4下列函数中在区间上单调递增的是（ ）A BC D5若则（ ）A B C D6函数的零点个数为（ ）A B C D7记为坐标原点，已知向量，又有点，满足，则的取值范围为（ ）A B C D 8已知，则是直角三角形的概率是（ ）A BC D 9设，其中，则的最小值为（ ）A B CD 10点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A轴上仅有有限个点是“点”； B轴上所有的点都是“点”； 开 始否是(12题图)结 束C轴上所有的点都不是“点”；D轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分11同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 12如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 13函数的值域是 （其中表示不超过实数的 最大整数）14. 已知定义域为的函数对任意都满足条件 与，则对函数，下列结论中必定正确的是 （填上所有正确结论的序号） 是奇函数； 是偶函数；是周期函数； 的图象是轴对称的15若为整数，关于的方程有整数根，则 16是定义域为的函数，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 17求值： 三、解答题：本大题共3小题，共51分得分评卷人18（本题满分16分） 已知函数 求的最小正周期和的值域；若为的一个零点，求的值得分评卷人19（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记 求的解析式；问为何值时，有最小值？并求出的最小值20. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：得分评卷人存在常数，使得；对任意实数, 当时，有求证：对于任意正数，； 证明：在正实数集上单调递减； 若不等式恒成立，求实数的取值范围高一数学竞赛试卷 第4页（共6页）2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ）A B C3 D解:求出的平均值实际平均值,选B2设集合，则等于（ ） A B C D解：可得，所以，选C3已知，则与的关系是（ ）A或 B C D解:由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得选D4下列函数中在区间上单调递增的是（ ）A BC D解：将选择支中各函数用区间逐一检验知，只有C中函数满足要求选C5若则（ ）A B C D解：因为，可知函数单调递减，已知不等式即，所以，选A6函数的零点个数为（ ）A B C D解：，所以的零点 个数即函数与函数的交 点的个数，作图可知有个交点，选D7记为坐标原点，已知向量，又有点，满足，则 的取值范围为（ ）A B C D 解：，点在以点为圆心，为半 径的圆周上可得，如图可知，当 直 线与圆周相切时，有最大值为，当三点共线时有最小值为，所以的取值范围为选A8已知，则是直角三角形的概率是（ ）A BC D 解：由与构成三角形及知，可得 与垂直，则；若与垂直，则（舍去）；若与垂直，或（舍去）；综上知，满足要求的有个，所求概率为故选 D9设，其中，则的最小值为（ ）A B CD 解1：，由得当且仅当时，选B解2：当且仅当时，选B10点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A轴上仅有有限个点是“点”； B轴上所有的点都是“点”； C轴上所有的点都不是“点”；D轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 解1：设，因为，所以，得即对于轴上任意点，总有，满足题设要求，故选B开 始否是(12题图)结 束解2：（动态想象）：任取轴上点，将直线由轴位置开始绕点逆时针旋转，与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点（由下至上）直到最后只交于一个点当交于两个点时，在由正到负的过程中必将经历零点当时，即有，所以轴上所有的点都是“点”二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分11同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有种，其 中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为12如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 解：13函数的值域是 （其中表示不超过实数的 最大整数）解：，所以 的所有可能取值为，从而值域为14已知定义域为的函数对任意都满足条件 与，则对函数，下列结论中必定正确的是 （填上所有正确结论的序号） 是奇函数； 是偶函数；是周期函数； 的图象是轴对称的解：由知有周期，于是，知 为奇函数，填15若为整数，关于的方程有整数根，则 解：设为方程的整数根，则，必有或得或16是定义域为的函数，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 解：，有对称轴，故4个零点和为817求值： 解1：如图，构造边长为的正五边形，使得，则依次可得，由于，所以，从而解2：原式三、解答题：本大题共3小题，共51分18（本题满分16分） 已知函数 求的最小正周期和的值域；若为的一个零点，求的值解： .4分所以的最小正周期；.5分由，得的值域为.7分，由题设知，.8分由，结合知，可得.10分，.12分，.14分.16分19（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记 求的解析式；问为何值时，有最小值？并求出的最小值解：，抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论：.1分当时，且，此时，3分当时，且，此时，5分当时，在区间上递增，此时，7分当时，在区间上递减，此时，9分综上所得10分当时， ；11分当时， 递减，；.13分当时， 递增，；.15分当时， .16分综上所述，当时，.17分20.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数满足下列条件：存在常数，使得；对任意实数, 当时，有求证：对于任意正数，；证明：在正实数集上单调递减； 若不等式恒成立，求实数的取值范围证明：均为正数，且，根据指数函数性质可知，总有实数使得，于是，.2分又， .5分证明：任设，可令，.7分则由知，.9分即在正实数集上单调递减；.10分解：令，原不等式化为，其中且，不等式可进一步化为，.12分又由于单调递减，对于恒成立.13分而，.15分且当时.16分，又，终得.18分高一数学竞赛试题答案 第8页（共8页）